Limiet bewijzen

Beste Wisfaq,

Ik heb de volgende vraag. Ik moet bewijzen dat gegeven

(1+a/b²)^b 1 + a/b + ... + a^b/b^b 1 + a/b + a^2/b^2 + a^3/b^3 + ... = 1/(1-(a/b))

waarbij b a volgt dat lim(b ® ¥) (1+a/b²)^b = 1

Mijn eigen poging om dit te bewijzen: ik neem eerst de limit aan de rechterkant en laat zien dat deze gelijk is aan 1. Dan volgt er dus dat (1+a/b²)^b 1. Nu neem ik limiet aan de linkerkant waarbij ik opmerk dat a/b^2 nooit helemaal gelijk is aan 0 maar altijd iets groter. Er volgt dan dat (1+a/b²)^b 1. En uit deze twee ongelijkheden volgt dat er moet gelden (1+a/b²)^b = 1.

Echter, de aanname dat a/b^2 nooit helemaal gelijk is aan 0 zit me niet lekker en ik weet ook niet of het correct is. Met een zelfde redenatie kan men immers zeggen dat aan de rechterkant 1/(1-(a/b)) a/b nooit helemaal gelijk is aan 0 en dus dat de rechterkant altijd iets groter kan zijn dan 1.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen

Tim ba
Student universiteit - woensdag 8 november 2006

Antwoord

dag Tim,

Ik neem aan dat ba0.
(Als a=0, dan is ook a/b²=0, en dus is het linkerlid gelijk aan 1, dus dan klopt de limiet ook).
Je opmerking dan a/b² nooit helemaal gelijk is aan nul, hoeft dan niet waar te zijn, maar die is ook niet relevant.
Het gaat erom, dat (1+a/b²)^b altijd groter of gelijk is aan 1.
Verder heb je aangetoond dat de limiet van het rechterlid gelijk is aan 1. Dat het rechterlid zelf (bijna) altijd groter is dan 1, is niet relevant. Het gaat om de limietwaarde. Die is precies gelijk aan 1.
Vervolgens gebruik je de insluitstelling om tot je conclusie te komen.
Is het zo wat duidelijker?
succes,

woensdag 8 november 2006

Re: Limiet bewijzen

©2001-2024 WisFaq