Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Hallo,

Gevraagd is om volgende differentiaalvergelijking op te lossen:

(2xy)/(x²+1) = x-y'

We zouden moeten uitkomen: y= (x⁴ + 2x² + c) / 4·(x²+1)

Zelf dacht ik:
y' + ((2x) / (x²+1))·y = x

Integregerende factor berekenen:
e^ò((2x)/(x²+1))dx

= e^ (2ln|x| + x²)
= x² + e^(x²)

De vergelijking wordt dan:

e^(x²)·y' + y'x² + ((2x)/(x²+1)) · y · (e^(x²) + x²) = x· (x² + e^(x²))

Na integratie van beide leden:

y = (x⁴ + xe^x) / 4·(e^(x²) + x²)

Graag een handje hulp, want ik geraak er echt niet uit...

Alvast bedankt!!!

Groetjes

Elke
Student universiteit België - donderdag 2 november 2006

Antwoord

Zie ODE in t met functie afhankelijk van t voor iets soortgelijks.

Met het omgooien van de dv in de vorm
y' + ((2x)/(x²+1)).y = x
was je al een aardig eind in de goede richting.
Het gaat dus om een dv van de vorm y' + p(x).y = q(x)
met p(x)=(2x)/(x²+1) en q(x)=x

De integrerende factor is:
I(x) = exp{ò((2x)/(x²+1))dx} = exp{ò(1/(x²+1))d(x²+1)}
= exp{ln(x²+1)} = x²+1
(Dit is het punt waarop t even niet goed ging bij jullie poging..)

de dv is nu van de vorm d(yI)/dx = I.q(x)

ofwel
d(y.(x²+1))/dx = (x²+1).x Þ
y(x²+1) = ¹/₄x⁴ + ¹/₂x² + C Û
y = (¹/₄x⁴ + ¹/₂x² + C)/(x²+1)

hetgeen hetzelfde is als
y = (x⁴ + 2x² + C₂)/4(x²+1)

groeten,
martijn

mg
donderdag 2 november 2006

©2001-2024 WisFaq