Parameter

Bepaal m zodat 4x²+7mx+9-10m het kwadraat van een tweeterm is en wat is die tweeterm?

Dit is de opgave en we moeten dit bereken door te beginnen zeggen waarom de discriminant 0 is en dan oplossen.

jop
2de graad ASO - donderdag 19 oktober 2006

Antwoord

Hoi Jop,

Je hebt te maken met een kwadratische vergelijking en zoals je weet kun je dan gebruik maken van de discriminant om te bepalen hoeveel (reële) oplossingen je vergelijking zal hebben.

De gegeven hint is een goede. Als de discriminant gelijk is aan nul, is er slechts één oplossing voor deze vergelijking. Dat betekent dat de gegeven kwadratische uitdrukking een parabool is met één nulpunt.
Op dit moment zou er een belletje moeten rinkelen, want een parabool met één nulpunt is te schrijven in de vorm (x + p)². Deze vorm is een kwadraat van een tweeterm en dat is precies waar je naar op zoek was! Merk bovendien op dat het nulpunt op x = -p ligt.

Ga zelf eens na welke vorm er zou zijn geweest wanneer de discriminant groter dan nul zou zijn geweest. Dat maakt het eventueel nog inzichtelijker waarom de discriminant nul moet zijn om een kwadraat van een tweeterm opgeleverd te krijgen.

Je vergelijking is nu uit te drukken als:
4x² + 7mx + 9 - 10m = (x + p)²

Als je het rechterlid uit haken schrijft zie je dat de factor van x² gelijk is aan 1. Dat is erg onhandig. Het is daarom een stuk gemakkelijker om te stellen dat:

4x² + 7mx + 9 - 10m = (2x + p)²

De discriminant van de linksstaande kwadratische uitdrukking moet nul zijn hebben we zojuist beredeneerd, dus:

(7m)² - 4·4·(9 - 10m) = 0
49m² - 144 + 160m = 0

Deze kwadratische vergelijking met m als onbekende kun je oplossen door bijvoorbeeld de abc-formule te gebruiken:

m_1,2 = ^{-160±√(1602-4·49·-144)}/_2·49
dus
m_1,2 = ^-160±232/₉₈

m = -4 $\vee$ m = 36/49

Je hebt nu dus de gezochte m-waarden bepaald. Nu is nog te bepalen welk kwadraat van welke tweeterm gezocht is.

Ik ga het voor m = -4 laten zien, dan laat ik je zelf het probleem voor m = 36/49 oplossen.
Vul m = -4 in in je vergelijking:

4x² - 28x + 49 = (2x + p)²
4x² - 28x + 49 = 4x² + 4px + p²

Merk op dat wanneer -28 = 4p $\wedge$ 49 = p² geldt, dat dan de uitdrukkingen gelijk zijn aan elkaar.

-28 = 4p $\Rightarrow$ p = -7
49 = p² $\Rightarrow$ p = -7 $\angle$ p = 7

Voor p = -7 is dus aan beide vergelijkingen voldaan en dus is dat de gezochte waarde van p.

Conclusie. De kwadratische uitdrukking 4x² + 7mx + 9 - 10m is het kwadraat van een tweeterm als m = -4 of als m = 36/49. In het geval dat m = -4 is dat kwadraat van een tweeterm de volgende: (2x - 7)².

Nogmaals: zoek het zelf eens uit voor m = 36/49.
Mocht je vragen hebben over mijn uitwerking of over het uitwerken voor m = 36/49, stel ze dan gerust . Succes!

bk
donderdag 19 oktober 2006

Re: Parameter

©2001-2024 WisFaq