De tangens primitiveren

Hallo, bij deze een korte en kleine vraag, waar ik echt niet uitkom...

De primitieve van de $\int{}$ tan(x)... In het antwoordenboek én volgens de docente is het antwoord hierop: [-ln |cos(x)|]

Ik heb de docente hier verder niet meer over kunnen bereiken...

Dit heb ik er zelf nog van kunnen maken:
$\int{\tan(x)}dx$
[^cos(x)/_sin(x)]

Terwijl als je het goede eindantwoord differentieert je dit krijgt:
[-ln |cos(x)|]
-¹/_|cos(x)|

Ook met behulp van de formulekaart heb ik niets kunnen vinden. die sin(x) veranderd gewoon naar -1, en ik heb geen flauw idee waarom. ook weet ik niet waarom die absoluutstrepen rond de cos(x) daar moeten staan...

Alvast bedankt...

Carel
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 15 oktober 2006

Antwoord

Als je -ln(cos(x)) differentieert krijg je volgens mij dit:

$\eqalign{
\left[ { - \ln (\cos (x))} \right]^| = - \frac{1}
{{\cos (x)}} \cdot - \sin (x) = \frac{{\sin (x)}}
{{\cos (x)}} = \tan (x)
}$

De kettingregel, weet je nog?

De absoluutstrepen in -ln(|cos(x)|) staan er omdat ln(x) alleen gedefinieerd is voor x$>$0. Hopelijk helpt dat.

De truuk voor de primitieve van tan(x)=sin(x)/cos(x) is 'zien' dat een primitieve voor 1/x gelijk is aan ln(x), dus ln(cos(x)) een primitieve zou kunnen zijn omdat dat die sin(x) in de teller dan precies de afgeleide is van cos(x).

Zie 2. Substitutiemethode

zondag 15 oktober 2006

©2001-2024 WisFaq