Deelverzamelingen en notaties

Beste wisfaq,

Ik ben nu bezig met het hoofdstuk over verzamelingen en
ik heb er een aantal vragen over. Ik laat eerst zien wat ik heb geleerd en stel aan de hand daarvan 2 vragen.
Als ik het goed heb begrepen gelden de volgende aannames:
1. De lege verzameling is een deelverzameling van iedere verzameling.
2. Iedere verzameling is een deelverzameling van zichzelf.

De lege verzameling heeft een symbool: een cirkel met een schuine streep erdoorheen. Dit symbool staat voor de lege VERZAMELING dat GEEN elementen bevat volgens de definitie.
Je hebt 2 begrippen: elementen en verzameling. Een element wordt meestal met een KLEINE cijfer of letter weergegeven. Een verzameling wordt meestal weergegeven met een HOOFDLETTER of IETS TUSSEN ACCOLADES. Ik heb begrepen dat het symbool voor "is element van" alleen kan worden gebruikt voor elementen en NOOIT voor verzamelingen. Dus een verzameling kan NOOIT een element zijn van iets. Het symbool voor "is een deelverzameling van" kan dan ook alleen voor verzamelingen worden gebruikt en nooit voor elementen. Ik kwam in mijn leerboek een vraag tegen die ik niet begreep. Er stond iets geschreven en ik moest zeggen of dat "waar" of "onwaar" was.
Het stond natuurlijk in symbolen uitgedrukt, en ik vind het jammer dat ik dat nu niet kan laten zien omdat die symbolen hier niet voorkomen.
Er stond dit:
"cirkel met schuine streep erdoorheen" "is een element van" "cirkel met schuine streep erdoorheen tussen 2 accolade-tekens"
Alles wat tussen " " staat is 1 symbool. Het antwoord moet zijn: WAAR. Dat begrijp ik niet. Ik denk dat het ONWAAR moet zijn.
Ik heb geleerd dat een cirkel met een schuine streep erdoorheen staat voor: "de lege verzameling" dus EEN VERZAMELING. En EEN VERZAMELING kan GEEN ELEMENT ZIJN VAN IETS! Als je dus kijkt naar de definitie van een lege verzameling dan KLOPT DIT DUS NIET. Maar als je puur let op de notatie en niet let op de definitie dan klopt het wel.
Verder wilde ik graag weten wat het verschil is tussen 2 symbolen. Ik vind het weer jammer dat ik de 2 symbolen niet kan laten zien. Het gaat om het symbool voor "is deelverzameling van". Je hebt 2 soorten. Bij een heb je een "naar rechts omgekiepte U-teken" MET horizontale streep eronder, en bij de ander is het ALLEEN maar dit "naar rechts omgekiepte U-teken.Wat is nu het verschil?
Stel je hebt 2 verzamelingen: A en B. Dan staat er in mijn studieboek dit: (wat tussen " " staat is weer 1 symbool)
A "naar rechts omgekiepte U-teken ZONDER horizontale streep eronder" B geldt alleen als 2 dingen gelden:
a) A "naar rechts omgekiepte U teken PLUS horizontale streep eronder" B
b) A "is niet gelijk aan" B
Maar A is toch NOOIT gelijk aan B! Dus dan snap ik het verschil niet tussen het begrip: deelverzameling MET horizontaal streep eronder en het begrip: deelverzameling ZONDER horizontale streep eronder. Ik hoop dat het voor jullie duidelijk is.
Hartelijk dank
bas

bas
Student universiteit - vrijdag 11 oktober 2002

Antwoord

Je eerste probleem is (als ik de tekst goed begrijp) of dit waar is: ø Î {ø}.
Het antwoord is verrassend genoeg "ja".
Het zit 'm in de accolades om hetgeen rechts geschreven staat. Die accolades geven namelijk aan dat het gaat om een verzameling met slechts één element en dat ene element is zelf óók een verzameling, namelijk de lege verzameling.
Vergelijk het maar met 7 Î {7} of met p Î {p} ,beweringen die je waarschijnlijk beide als "waar" ervaart.
Je moet je bij dit soort zaken niet teveel proberen voor te stellen. Het is eigenlijk niet veel meer dan het spelen met de definitie en dan loop je soms tegen randgevallen aan die buiten het normale vallen. Maar wat is eigenlijk normaal?

Nu het tweede:

A noem je een deelverzameling van B als élk element van A óók in B zit. Bij het woordje "deelverzameling" ben je meteen geneigd om aan slechts een gedeelte van B te denken, maar als je de definitie nog eens goed leest, dan zul je moeten toegeven dat niet wordt uitgesloten dat A en B precies dezelfde verzamelingen zijn.
En dat is ook eigenlijk wel logisch, want uiteraard zit elk element dat in A zit óók in A, dús moet je A een deelverzameling van zichzelf noemen.

Als A een deelverzameling van B is, dan noteert men dat als A Í B, waarbij het streepje onder het symbool eigenlijk een is-gelijk-teken voorstelt. Vergelijk het eens met het teken , waar het alles mee te maken heeft.

Als je écht bedoelt dat A slechts een deel van B is, dan wordt het A Ì B

Tenslotte: net zo als je de bewering 6 < 9 kunt omdraaien tot 9 > 6, zo draait men soms ook de verzamelingssymbolen wel eens om: in plaats van A Ì B schrijft men dan B É A, en dan zegt men dat B de verzameling A omvat. Idem voor B Ê A.

Een paar voorbeeldjes:
{ 2,3,4} Ì {2,3,4,5} maar ook {2,3,4}Í{2,3,4} al zul je het laatste geval meestal schrijven als {2,3,4} = {2,3,4}

Om de verwarring compleet te maken: het symbool Í zou je in feite best kunnen missen. Als je met AÌB bedoelt dat A ook gelijk mag zijn aan B, dan kun je met alleen Ì goed uit de voeten.

MBL
vrijdag 11 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq