Oppervlakte van bol via integraal

Hoi,

Ik probeer de oppervlakte van een Bol via een oppervlakte integraal uit te rekenen maar ik krijg steeds het foute antwoord uit. Ik weet dat de oppervlakte van een bol gelijk is aan 4$\pi$r² maar daar kom ik niet op uit.

Ik heb het volgende gedaan: Oppervlakte bol met straal a:

Opp. Bol = [Integraal 0 tot 2$\pi$][Integraal 0 tot a] rdrdf
= 0.5 [Integraal 0 tot 2$\pi$] a² df
= 0.5a² · 2$\pi$
= $\pi$a²

Dit had dus 4$\pi$a² moeten zijn..

Hoe kan ik via een oppervlakte integraal en via bolcoordinatoren het oppervlak van een bol uitrekenen? Wat doe ik hierboven fout?

Alvast bedankt

Roland

Roland
Student universiteit - zondag 8 oktober 2006

Antwoord

Kijken we even naar een halve bol:



Wanneer we hiervan de oppervlakte willen berekenen, dan moeten we de oppervlakte van alle kleine 'vierkantjes' bij elkaar optellen: integreren dus.

Stel de straal van de bol is r, de hoek in de zenith-richting (in noord-zuid richting zeg maar) is $\theta$ en de hoek in de azimuth-richting (in oost-west richting) is $\phi$.

De lengte van het kleine vakje is in $\theta$-richting gelijk aan r.d$\theta$

In de $\phi$-richting is het een klein beetje lastiger aangezien de breedte van het vierkantje met toenemende $\theta$-hoek afneemt.

Er geldt dat de breedte gelijk is aan r.cos$\theta$.d$\phi$
(de meridianen lopen immers taps naar elkaar toe)

Dus om de oppervlakte van de halve bol te berekenen, bereken je:
O=$\int{\int{}}$r²cos$\theta$d$\theta$d$\phi$ (met $\theta$ van 0 tot $\pi$/2, en $\phi$ van 0 tot 2$\pi$)
= r²$\int{\int{}}$cos$\theta$d$\theta$d$\phi$
= r²$\int{}$1.d$\phi$
= 2$\pi$r²
dus de oppervlakte van een hele bol is 4$\pi$r²

groeten,

martijn

mg
zondag 8 oktober 2006

©2001-2024 WisFaq