Wiskundige achtergronden bij anamorfose

Ik zit in de 6e klas van het VWO. Ik doe eindexamen en een onderdeel daarvan is het profielwerkstuk voor het vak wiskunde. Als onderwerp heb ik "anamorfose". Het gaat hier om spiegeling op speciale manieren, bijvoorbeeld met een spiegel in de vorm van een cilinder. Ik probeer overal wiskundige achtergrondinformatie over dit onderwerp te bemachtigen, via de TU in Eindhoven ben ik bij jullie uitgekomen. Ik hoop dat jullie mij verder kunnen helpen.

Jeroen
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 11 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

In het april-nummer van 1990 tijdschrift Pythagoras, vind je iets over inversies. Dit is niet helemaal wat je zoekt, maar de methode kan je op je 'anamorfoses' toepassen.
Ik weet niet of er hiervoor een geijkte terminologie bestaat, dus de termen die ik hier gebruik zijn goed bedoeld, maar niet de norm.

Ik zou eerst vlakke anamorfoses bekijken. Hiermee bedoel ik anamorfoses van punten in het vlak rond een kromme in dit vlak. Ze zijn gelijkaardig (isomorf) aan 3D anamorfoses met een oppervlak waarvan de horizontale project een vlakke kromme is. Zo kan je gewone platte spiegels als een lijn en rechtopstaande cilinders als een cirkel behandelen.

We stellen de 'spiegelkromme' voor door de parameterische vergelijking u(t). Een cirkel met centrum 0 en straal 2 is bv: u(2cos(t),2sin(t)), een rechte door u(t,3+2t).

Mijn definitie van een anamofose:
een punt v· is een anamorf beeld van een punt v ten opzichte van een kromme voorgesteld door u(t) (t reëel)
als en slechts als
er een reële t bestaat zodat
1. v en v· symmetrisch liggen tov u(t)
2. v en v· liggen op de normaal aan de kromme in u(t)

Voor een gewone spiegel zijn v en zijn spiegelbeeld dus anamorf. Voor een cirkel moeten we een normaal tekenen door v (die door het centrum van de cirkel gaat) en v spiegelen om het snijpunt van de normaal en de cirkel. Voor een kromme die bestaat uit een hoek (2 spiegels in een hoek), kunnen we 2 anamorfe beelden van v, namelijk het spiegelbeeld van v om elke halfrechte. Algemeen moeten we dus alle punten van de kromme zoeken waar de normaal door v gaat en v spiegelen om de voetpunten. Een anamorfose is dus geen functie omdat er meer dan één beeld kan zijn. Voor een specifieke kromme kan het interessant zijn voor welke v er 0, 1 of meer beelden bestaan...

Analytisch kan je afleiden:
(v+v·)/2=u(t) dus: v·=2.u(t)-v (1)
waarbij t voldoet aan:
vu$\bot$.$\partial$u/$\partial$t ($\partial$u/$\partial$t is de raakvector aan de kromme in u(t)) of anders: (u-v).$\partial$u/$\partial$t=0 (2)
Met elke t die we uit (2) vinden, correspondeert een u(t) en via (1) dus een v·.
(noot: u, v· vu en $\partial$u/$\partial$t zijn vectoren)

Voor een rechte en een cirkel kan je dit met de hand narekenen. Voor een ellips wordt dit al voer voor een computer.

We kunnen dus de beelden van elk punt v berekenen en daarmee ook van elke figuur.

Als je anamorfoses met een willekeurig 3D oppervlak of n-D anamorfoses wil bekijken, dan kunnen ze dit door het oppervlak met u(t₁,t₂,..,t_n-1) voor te stellen. De voorwaarden voor de verschillende t_i's vind je dan door orthogonaliteit van vu met elke $\partial$u/$\partial$t_i uit te drukken. Hiermee krijg je n-1 vergelijkingen in n onbekenden. Elke oplossing (en dat kunnen er 0, 1 of meer zijn) levert dan de parameters voor een voetpunt u(t) op de kromme en daarmee vind je dan ook een beeld v^· van v.

Ik weet niet in hoeverre het een beperking is voor je werk dat ik veronderstel dat er een parametrische voorstelling bestaat voor de oppervlakken.

Wellicht vind je in de literatuur over computer graphics algoritmen en meer info hierover.

Groetjes,

Johan

andros
zaterdag 19 oktober 2002

Re: Wiskundige achtergronden bij anamorfose

©2001-2024 WisFaq