x¹⁰=10^x

Beste Wisfaq,

Ik vroeg me af of deze vergelijking algebraisch is op te lossen. Overduidelijk is x=10 een antwoord maar 'je ziet zo dat x=10 een antwoord is' stelt mij niet tevreden. Verder is er nog een antwoord, dat ik ook algebraisch wil vinden.

Ik heb gedefinieerd:

f(x)=10^x
g(x)=x^10

f(1)=10
g(1)=1

f(2)=100
g(2)=1024

Dus moet er ook gelden f(x)=g(x) voor een x element van (1,2).

Algebraisch proberen op te lossen leidt echter tot niets.

Alvast bedankt,

Tim

Tim
Student universiteit - zondag 1 oktober 2006

Antwoord

Dag Tim,

Voor dit soort van transcendente vergelijkingen is het in het algemeen onmogelijk de oplossing algebraïsch te vinden. Tenminste, als je enkel gebruik maakt van de klassieke functies als machtsfuncties, logaritmen enzovoort. Echter, voor dit soort van opgaven heeft men een aparte functie ingevoerd: de Lambert-W functie.

De definitie hiervan vind je onder meer op Mathworld. Het komt erop neer dat die functie zorgt voor de gelijkheid
z = W(z) e^W(z).

Hoe kan je nu deze definitie gebruiken om de oplossing te bekomen? Wel, op deze site staat een ander voorbeeld uitgewerkt, het komt erop neer dat je streeft naar een uitdrukking van de vorm ye^y.

In deze opgave: je gaat proberen alle x'en in x¹⁰=10^x naar één kant te brengen, dat geeft:
1=x¹⁰10^-x.

Dan wil je die e erin krijgen, dus
1=x¹⁰e^-ln(10)x.

Dat is bijna goed, al heb je wel nog het verschil tussen x¹⁰ (als coëfficiënt voor de e) en x (als exponent bij de e). Dus nemen we gewoon de tiendemachtswortel links en rechts. Vermits we meteen alle oplossingen willen, dus ook complexe, beschouwen we alle tiendemachtswortels, dus we krijgen:

e^2pik/10 = x e^{-ln(10)/10 x}.
waarbij k loopt van 0 tot 9, en i de imaginaire eenheid voorstelt (Ö(-1)).

Om dan volledig naar de vorm ye^y te gaan, maken we daarvan:

e^2pik/10 (-ln(10)/10) = (-ln(10)/10) x e^{-ln(10)/10 x}.

De substitutie y=-ln(10)/10 x geeft dan

e^2pik/10 (-ln(10)/10) = y e^y.

Denkend aan de definitie van Lambert-W functie, heb je dan dat
y = W(e^2pik/10 (-ln(10)/10))
dus x = -10/ln(10) * W( e^2pik/10(-ln(10)/10) )

Even een Maple'tje ertegenaan gooien levert:

for k from 0 to 9 do
evalf(-10/log(10)*LambertW(-log(10)/10*exp(I*Pi*k/5))) end do;
1.371288574
0.8098659883 + 0.8922662634 I
0.08171987236 + 1.015712734 I
-0.4319404547 + 0.7956420293 I
-0.7294388169 + 0.4273172275 I
-0.8266713156
-0.7294388169 - 0.4273172275 I
-0.4319404547 - 0.7956420293 I
0.08171987236 - 1.015712734 I
0.8098659883 - 0.8922662634 I

En dit zijn exact 10 van de 11 oplossingen die je krijgt als je intypt
solve(x^10=10^x,x);
Inderdaad, de meteen zichtbare oplossing x=10 komt dus niet voor in dit lijstje... En ik heb eerlijk gezegd geen flauw idee hoe dat komt. Overigens is het zo dat als je in plaats van 10 een ander natuurlijk getal n neemt, je altijd n oplossingen krijgt met die Lambertfuncties, en als je die waarden uitrekent blijkt altijd de oplossing x=n te ontbreken.

Hopelijk heb je er iets aan,
Groeten,
Christophe.

Christophe
zondag 1 oktober 2006

©2001-2024 WisFaq