Operator

Hallo wisfaq,

Laat H een complexe Hilbertruimte zijn en stel dat T in B(H).Laat A=|T|=(T*T)^(1/2).
Er geldt dat ||Tx||=||Ax|| voor alle x in H.Ik wil laten zien dat er een unieke operator U in B(H) bestaat zodat

(notaties: betekent de geconjugeerde nemen van X,
' betekent de geconjugeerde nemen van X en dan het orthogonaal complement)

1.T=UA
2.U([Im A])=[Im T]
3.U is een isomorfisme tussen [Im A] en [Im T]
4.U([Im A]')=0

Ik denk dat ik het volgende nodig heb (het teken ' staat hier voor orthogonaal complement)
a.Ker(T)=(Im T*)' en ker T*=(Im T)', bij onderdeel 4?
b.bij onderdeel 3: T is een isomorfisme als ||Tx||=||x||

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - woensdag 23 augustus 2006

Antwoord

Je weet dat H de directe som is van X=Im A en Y=(Im A)'. Het is het makkelijkst om eerst U(x) te definieren voor x in X en U(y) voor y in Y en dat voor willekeurige z in H te definieren dat U(z)=U(x)+U(y), waarbij x en y de unieke punten in X en Y zijn met z=x+y.
Welnu voor y in Y is het duidelijk: U(y)=0, dat dicteert eis 4.
Voor x in X gaat het als volgt: kies een p in H met x=A(p) en definieer vervolgens U(x):=T(p) (volgens eis 1 moet je het zo wel doen).
Nu moet je een paar dingen controleren
- U(x) hangt niet van de keuze van p af, dus te bewijzen: als A(p)=x=A(q) dan T(p)=T(q) (hier moet je het verband tussen A en T gebruiken).
- U is linear (daar kun je je keuzevrijheid goed gebruiken).
- U is een bijectie tussen K en Im T die de norm bewaart (weer het verband tussen A en T gebruiken).

kphart
vrijdag 1 september 2006

©2001-2024 WisFaq