Pythagorëische drietallen

Ga na dat geldt y²=(z+x)(z-x), dat de factoren (z+x)/2 en (z-x)/2 beide een kwadraat moeten zijn.

Nu zegt het boek dat als x en z geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben, dan weet je dat z+x en z-x ook geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben.

Vraag: waarom?

Perry
Student hbo - dinsdag 6 juni 2006

Antwoord

Uit het ongerijmde:

Stel dat dat *wel* zo zou zijn, maw er is een priemgetal p waarvoor

z+x = pa
z-x = pb

met a en b natuurlijke getallen. Dan zou

z = p(a+b)/2
x = p(b-a)/2

Als a en b beide oneven of beide even zijn is de deling door twee geen probleem: (a+b)/2 en (a-b)/2 zijn dan gehele getallen en p is inderdaad een factor van zowel z als x.

Als een van beide even is en de andere oneven, dan zijn a+b en a-b oneven, dus de deling door twee lukt niet, tenminste, niet daar. Maar omdat we weten dat z en x gehele getallen zijn, is het in beide gevallen de p die deelbaar is door twee, maw p=2. Ook in dat geval is p een factor van zowel z als x.

donderdag 8 juni 2006

©2001-2024 WisFaq