Inhoud van een viervlak

Hallokes!
We hebben een opdracht gekregen om de inhoud van een viervlak te berekenen. Deze is bepaald door de punten A(1,5,7), B(2,-7,10), C(2,11,-5) en D(1,2,5)

Het moet iets met vectoren en afstanden te maken hebben, maar ik zie echt niet de oplossing.
Al super hard bedankt!
Marijke

Marijk
3de graad ASO - zondag 4 juni 2006

Antwoord

Beste Marijke,

Om te beginnen kunnen we ons probleem verplaatsen zodat één punt samenvalt met de oorsprong. We trekken hiervoor van elk punt precies één van de vier punten af. Bijvoorbeeld, D-A, C-A, B-A en A-A is dan de oorsprong. We werken nu met de drie vectoren vanuit de oorsprong, ik noem ze algemeen X,Y,Z.

Vervolgens een intermezzo: als je het prisma vormt rond het viervlak, dan is de inhoud van dat viervlak precies 1/3 van de inhoud van het omhullende prisma. Dat wordt hier geïllusteerd onder 'volume'. We kunnen dus de inhoud van het prisma berekenen en dan delen door 3.

Het vectorieel product van twee vectoren is een nieuwe vector met als grootte de oppervlakte van het opgespannen parallellogram. Het prisma wordt echter gevormd door de driehoek, dus deze oppervlakte moet worden gedeeld door 2. Zo bekomen we al de oppervlakte van het grondvlak van het prisma, |X x Y|/2.

Het volume van het prisma vind je door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte. Die laatste vector Z zal de hoogte bepalen, maar zoals je weet moet die hoogte loodrecht zijn. Maar voor de loodrechte projectie hebben we net het scalair product. Dat levert dus: 1/2(Z.(X x Y)).

Tot slot, delen door 3 omdat we nu het volume van het prisma hebben en niet van het viervlak: V = 1/6(Z.(X x Y).

We hadden dit resultaat eerder kunnen vinden als je wist dat het gemengd product van drie vectoren X,Y,Z: Z.(X x Y) precies het volume is van het opgespannen parallellepipedum. Halveren van het grondvlak (parallellogram tot driehoek) en door drie delen van het bekomen prisma geeft dan het gevonden volume van het viervlak.

Handig extraatje: dat gemengd product is gemakkelijk te berekenen als de 3x3 determinant waar je de coördinaten van X,Y,Z in plaatst. Delen door 6 levert het volume van je viervlak.

mvg,
Tom

maandag 5 juni 2006

©2001-2024 WisFaq