Eigenwaarden en diagonaliseerbaarheid

hoi
er is me nog steeds iets niet helemaal duidelijk over het wel dan niet diagonaliseerbaar zijn van een matrix als je kijkt naar de eigenwaarden. ik zal eventjes vertellen hoe het in mijn ogen zit en ik hoop dat iemand dan zou kunnen vertellen of het ook werkelijk zo is of niet:

als je een nxn matrix hebt over een bepaald lichaam K
bereken ik eerst de karakteristieke polynoom van de matrix en ga ik de nulpunten over lichaam K bepalen, welke dan gelijk zijn aan de eigenwaarden over K van de matrix

1)

stel je hebt een 4 bij 4 matrix en ik vind 4 verschillende eigenwaarden over K waarvan de eigenvectoren een eigenruimte creeren met dim = 1 dan is de matrix diagonaliseerbaar

(maar wat als een van de eigenruimtes een grotere dimensie heeft of als 1 van de eigenvectoren een nulvector is?)

2) stel je vind minder als 4 eigenwaarden maar bijvoorbeeld 2 eigenwaarden die verschillend zijn en 1 met multipliciteit 2 dan moet van de 2 gelijke eigenwaarden de eigenruimte dimensie 1 hebben en de eigenruimte van die andere met multipliciteit moet dimensie 2 of hoger hebben??

3) telt een eigenwaarde of eigenvector die 0 is eigenlijk wel mee?

4) en hoe zit het nu precies met afhankelijkheid van de vectoren uit de eigenruimtes van de eigenwaarden, ik dacht namelijk dat je hier ook nog rekening mee moest houden

ik hoop dat iemand hier wat op en aanmerkingen op kan maken zodat het allemaal wat duidelijker wordt

Jordy
Student universiteit - woensdag 17 mei 2006

Antwoord

Beste Jordy,

Om te beginnen even twee dingen:
- voor een nulvector geldt natuurlijk steeds dat deze op een 'veelvoud' van zichzelf wordt afgebeeld onder een lineaire afbeelding. Per definitie nemen we echter enkel niet-nulle vectoren als eigenvectoren. De nulvector wordt soms een 'triviale eigenvector' genoemd.
- een eigenwaarde kan 0 zijn, dit is geen probleem.

Vervolgens moeten we een onderscheid maken tussen:
- de algebraische multiplicteit (am) van een eigenwaarde is de multiplicteit van deze eigenwaarde als nulpunt van de karakteristieke veelterm.
- de meetkundige multipliciteit (mm) van een eigenwaarde is de dimensie van de eigenruimte die bij deze eigenwaarde hoort, opgespannen door de bijbehorende eigenvector(en) dus.

Er geldt steeds, voor elke eigenwaarde: am mm.

Nu kunnen we het volgende netjes formuleren:
Een matrix van dimensie n zal diagonaliseerbaar zijn (over een veld K) als de som van alle meetkundige multipliciteiten van de eigenwaarden gelijk is aan n.

Andersgezegd: de som van de dimensies van de eigenruimtes moet gelijk zijn aan n.
Dit komt overeen met het equivalente dat we een basis nodig hebben van dezelfde dimensie n, die uit n eigenvectoren bestaat. Het feit dat het een basis moet zijn impliceert reeds lineaire onafhankelijkheid van de eigenvectoren.

We hebben ook de volgende eigenschap, die een voldoende voorwaarde levert:
Als een matrix van dimensie n precies n verschillende eigenwaarden heeft (opnieuw over een veld K uiteraard), dan is de matrix diagonaliseerbaar.

Immers, bij elke eigenwaarde hoort minstens een eigenvector die per definitie niet de nulvector kan zijn. Bij een eigenwaarde met am gelijk aan 1 kun je ook onmogelijk meer dan één eigenvector hebben, vermits mm am niet kan.

Het bovenstaande is echter geen nodige voorwaarde: een matrix van dimensie n kan nog steeds diagonaliseerbaar zijn als er minder dan n eigenwaarden zijn. Het is dan wel nodig dat alle eigenwaarden met een hogere am, ook een gelijke mm hebben. We moeten immers aan n linear onafhankelijke eigenvectoren komen en dat kan alleen als de totale som van de mm gelijk is aan n.

Merk op dat wanneer we het over een aantal eigenvectoren hebben, we eigenlijk steeds lineair onafhankelijke eigenvectoren bedoelen. Immers, als v een eigenvector is, dan is een veelvoud van v er ook altijd een. Eigenvectoren zijn dus slechts bepaald op een schaalfactor na.

Om nog even terug te komen op die lineaire afhankelijkheid van eigenvectoren, we hebben ook de volgende eigenschap:
Als u(1) tot en met u(k) eigenvectoren zijn met bijbehorende eigenwaarden l(1) tot l(k) die onderling twee-aan-twee verschillen, dan zijn de eerstgenoemde vectoren lineair onafhankelijk.

Ik hoop dat het hele verhaal hierboven je vragen beantwoordt, niet in die volgorde maar toch ergens...

mvg,
Tom

woensdag 17 mei 2006

©2001-2024 WisFaq