Limiet SIN(x)/x voor x naderend naar 0

Is het mogelijk de limiet van sin(x)/x voor x naderend naar x algebraïsch te bepalen? Deze is 1, maar hoe toont men dit wiskundig aan? Zowel teller als noemer naderen naar 0, zover zat ik al.

LP
3de graad ASO - maandag 15 mei 2006

Antwoord

Beste Lucas,

Als we x-waarden rond 0 bekijken, in het bijzonder kleiner dan $\pi$/2 maar groter dan 0, dan geldt dat sin(x) $\leq$ x $\leq$ tan(x). Ga maar na op een grafiek of bekijk het begin van de Taylorreeksen. Zolang we nog niet in 0 zelf zitten is sin(x) $>$ 0, we mogen daardoor delen:

sin(x)/sin(x) $\leq$ x/sin(x) $\leq$ tan(x)/sin(x)
1 $\leq$ x/sin(x) $\leq$ 1/cos(x)

Nu zien we dat we x/sin(x) ingesloten hebben tussen 1 en 1/cos(x). Maar als we nu x naar 0 laten gaan wordt ook 1/cos(x) gelijk aan 1 (dat is daar gewoon gedefinieerd) zodat we vinden dat ook x/sin(x), en daaruit sin(x)/x, naar 1 gaat als x naar 0 gaat.

Let wel dat ik in deze redenering alleen x>0 heb beschouwd, maar voor x<0 gaat het analoog. Je zou eventueel ook met de absolute waarden kunnen werken om het in één keer te doen.

mvg,
Tom

maandag 15 mei 2006

©2001-2024 WisFaq