Genormeerde ruimte

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het volgende bewijzen:

Laat X een genormeerde ruimte zijn en stel dat L bevat is in X, met L een eindig dimensionale deelruimte.Dan wordt voor iedere x in X de afstand d(x,L) van x tot L gedefinieerd als
d(x,L)=inf(over l in L) ||x-l||
gerealiseerd door een element van L, m.a.w. er bestaat een l_x in L zodat d(x,L)=||x-l_x||.(vanaf nu schrijf ik || i.p.v. || ||)

Ik zal iets nodig hebben als de Heine_Borel theorie of de Bolzanp_Weierstrass theorie in L.

Ik heb zelf de volgende grove schets van het bewijs, die bestaat uit allerlei hints eigenlijk die ik niet begrijp:

1.Als || een norm is op een eindig-dim ruimte Y dan is Y een complete metrische ruimte.
Kan ik 1 toepassen op L?Want de norm gedef op X.
Als ik 1 wel kan toepassen dan volgt nu dat L een Banachruimte is.

2.In een eindig-dim ruimte is iedere gesloten en begrensde verzameling compact (en dus limietpunt compact).
?Dit gaat op voor L

3.Neem nu een open bol B met middp x en straal eps zodanig dat epsd(x,L), dan is er een rij {l_n} bevat in de doorsnede van L met B zodanig dat |x-l_n| convergeert naar d(x,L).Waarom is dit zo?

4Gebruik nu het feit dat deze rij een converg deelrij heeft (Waarom?).

5.Nu kun je bewijzen dat het limietpunt l_x is.

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - dinsdag 21 maart 2006

Antwoord

1. Ja want de norm-eigenschappen gelden voor alle vectoren in X, dus ook binnen L
2. Klopt
3. d(x,L)=inf{|x-l|:l in L}; als n in N dan is er dus een x_n in L met |x_n-x|min{d(x,L)+1/n, eps} (en dus x_n in B).
4. de afsluiting van B is gesloten en begrensd en bevat in L, en dus compact.
5. inderdaad

kphart
donderdag 23 maart 2006

Re: Genormeerde ruimte

©2001-2024 WisFaq