De somrij van een reken-meetkundige rij

Hallo,

Ik ben bezig met het leren over rijen en de somrij van rijen. Ik snap al hoe je de somrij van een rekenkundige rij kunt vinden. Namelijk S_n = (1/2)(n+1)(U_n+U_0) Dit kan omdat de rekenkundige rij altijd met evenveel groeit en je dus het aantal items (n+1) keer het gemiddelde van die items (1/2)(U_n+U_0) doet.
Ook snap ik hoe ik de somrij van een rekenkundige rij kan vinden, namelijk S_n = (U_(n+1) - U_0)/(r-1).

Alleen ik snap niet hoe ik deze van een reken-meetkundige rij kan vinden. U_n = (U_0 + vn)r^n.
In het boek staat dat je eerst deze formule kunt vinden:
(r-1)S_n = U_(n+1) - U_0 - vr(1 + r + r^2 + ... + r^(n-1))
en dan van daaruit naar:
S_n = (U_(n+1) - U_0)/(r-1) - (vr(r^(n+1)-1)) / (r-1)^2

Ik snap wel hoe ik van die tweede naar die derde moet komen maar ik snap niet hoe ze aan die tweede ((r-1)S_n = U_(n+1) - U_0 - vr(1 + r + r^2 + ... + r^(n-1))) komen.

Zou u dit kunnen uitleggen?

Hartelijk bedankt!
David

David
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 20 maart 2006

Antwoord

Je kunt dit op dezelfde manier doen als de afleiding van een formule voor de som van een meetkundige rij:

Schrijf S_n en r*S_n op:

 
S_n=u_0+(u_0+v)r+(u_0+2v)r^2+(u_0+3v)r^3+.....+(u_0+(n-1)v)r^(n-1)+(u_0+nv)r^n 
r*S_n=      u_0r+(u_0+ v)r^2+(u_0+2v)r^3+.........................+(u0+(n-1)vr^n+(u_0+nv)r^(n+1) 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Wanneer je deze twee van elkaar aftrekt krijg je: 
rS_n-S_n=-u_0-vr-       vr^2-       vr^3-                                   vr^n+(u_0+nv)r^(n+1) 
 
Je hebt dan: 
(r-1)S_n=(u_0+nv)r^(n+1)-u_0-vr(1+r^+r^2+....+r^(n-1)) 
 
Overigens lijkt me (u_0+nv)r^(n+1) nu net niet helemaal gelijk aan u_(n+1)=(u_0+(n+1)v)r^(n+1) 

dinsdag 21 maart 2006

©2001-2024 WisFaq