Waarom zijn 11,111,1111, geen perfecte kwadraten?

Een vraag uit de finale van de JWO (2002) luidt als volgt:

11,111,1111,...
22,222,2222,...
...
...
99,999,9999,...

Bewijs dat geen van deze getallen een perfect kwadraat is.

En ik weet niet hoe eraan te beginnen! Alvast bedankt.

Klaus
2de graad ASO - dinsdag 14 maart 2006

Antwoord

Zoals je misschien weet moet het laatste cijfer van een kwadraat gelijk zijn aan 0,1,4,5,6 of 9.
Dus de rijtjes met allemaal 2'en, allemaal 3'en, allemaal zevens of allemaal achten kunnen sowieso geen kwadraat zijn.
We zeggen dat van een kwadraat de rest bij deling door 10 gelijk moet zijn aan 0,1,4,5,6 of 9.
Een dergelijke eis geldt ook bij deling door 4: voor een kwadraat geldt: de rest bij deling door 4 is gelijk aan 0 of 1.
Bekijken we nu 11,111,1111,....
De rest bij deling door 4 van 11 is gelijk aan 3.
Omdat 111=100+11 en 100 deelbaar is door 4 is de rest bij deling door 4 van 111 ook gelijk aan 3. Idem 1111, 11111, etc.
Dus alle getallen met allemaal eentjes kunnen geen kwadraten zijn.
Op soortgelijke manier vallen dan ook af:
allemaal tweeen (rest 2)
allemaal vijven (rest 3)
allemaal zessen (rest 2)
allemaal negens (rest 3)
Combineren we nu beide (rest bij deling door 10 en rest bij deling door 4) dan blijven alleen allemaal vieren over.
Maar:
Een rijtje met allemaal vieren is te schrijven is als 4 maal een rijtje met allemaal enen.
Maar dan is zo'n rijte met allemaal vieren een kwadraat (4) vermenigvuldigd met een oneven getal dat geen kwadraat is (11,111,...). En dat kan ook niet.

zondag 19 maart 2006

Re: Waarom zijn 11,111,1111, geen perfecte kwadraten?

©2001-2024 WisFaq