Differentiaalvergelijkingen

Voor wiskunde moet ik het volgende pobleem met begrensde groei onderzoeken:
Je schenkt 0,2 kg vloeistof van 80°C in een beker. De omgevingstemperatuur is 20°C
De snelheid waarmee de temperatuur van de vloeistof afneemt is evenredig met het verschil tussen de temperatuur van de vloeistof en de omgeving.
De evenredigheidsconstante c waarmee dat gebeurt, is afhankelijk van de aard en de hoeveelheid van de vloeistof
.Neem aan dat , waarbij m de massa van de vloeistof is.
De vraag is hoe de temperatuur T zich gedraagt als functie van de tijd t in minuten..

Op een station bestelt iemand een kopje koffie om in de trein op te drinken. Bij de koffie krijgt hij een plastic kuipje met mélk. Over enkele minuten vertrekt de trein. De koffie wil hij graag zo heet mogelijk houden. Hij kan twee dingen doen: nu de koude melk erbij of pas straks in de trein.
Neem aan: het kopje bevat 0,2 kg koffie, het kuipje 0,02 kg melk. De temperatuur van de koffie is 80°C, de temperatuur van de melk is 10°C en temperatuur van de buitenlucht is 20°
Neem verder aan dat de evenredigheidsconstante voor beide soorten vloeistof gelijk is aan:
, waarbij m de massa van de vloeistof is.
Wat zou jij adviseren: de melk meteen bij de koffie doen of wachten tot in de trein?

N.B.1. Uiteraard is dit is een vraag die je uitsluitend theoretisch moet bekijken m.a.w. wat is theoretisch het
temperatuurverschil na een bepaalde tijd.

Hieronder staat hoe ik begonnen ben, maar ik weet niet hoe ik verder moet. Zelf dacht ik eraan om of de beide functies of de differentiaalvergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen. Maar ik weet eerlijk gezegd niet hoe ik de vraag beantwoorden moet. Er staat immers ook bij de opdracht dat je moet zeggen wat theoretisch het temperatuurvershcil is na bepaalde tijd.
O ja, zou u ook willen kijken of ik de constante koffie met melk op de juiste manier berekend heb.
Op welk antwoord moet je uiteindelijk uitkomen, want ik kom iedere keer op een ander antwoord uit.

Koffie met melk:
Ctotaal=-0.015/.22=-0.06818
T(0)=(0.2/0.22)·80 + (0.02/0.22)·10 = 73.64

Koffie met melk:
dT/ dt = 0.068(20-T)
T=20+53.64e^...-0.068t

Zonder melk :
dT/ dt = 0.075(20-T)
T=20+60e^...-0.075t

Mya
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 5 maart 2006

Antwoord

dit is een vraag wat gebaseerd is op natuurkunde. Zelf studeer ik natuurkunde en zou je proberen om je op weg te helpen.
Je zou de berekeningen beter moeten uitleggen, want ik snap niet wat je hier doet.
Je kan hiervoor beter een andere formule pakken.
Qin = Quit , m(medium) · c(medium) · ΔT(medium) = m(melk) · c(melk) · ΔT(melk).
c is hierbij het soortelijke warmte. Als je eerst de Q uitrekend van het medium (jouw geval de koffie) en deze waarde gebruikt voor Quit. Dan heb je nog 1 onbekende en dit is je ΔT die je wilt weten.
Alleen nu ga je er van uit als je nog geen verliezen heb naar buiten. Als je dit wilt doen kan dat met de volgende formule:

p = a.A.(T-Tomg)+e.s.A.(T⁴-Tomg⁴)
Nu moet je eerst de T uitrekenen. Hiermee krijg je 4 antwoorden, waarvan er maar 1 logisch is omdat je in Kelvin werkt.
Met deze waarde T kan je uitrekenen hoeveel er energie verloren gaat aan straling en stroming naar de buitenomgeving.
Dit doe je door p = a.A.(T-Tomg) voor stroming en p = e.s.A.(T⁴-Tomg⁴) voor de straling.
Let op!! hierbij is p je nieuwe waarde die je wilt berekenen. En de som van deze 2 uitkomsten moeten gelijk zijn aan p(totaal).
p is je vermogen in watt. Dus met de hoeveelheid joule (Q) in de vorige berekening kan je de p mee uitrekenen. a = hoe hard het waaid (tussen de 9 en 13 moet je hiervoor gebruiken). e kan je voor jouw berekening beschouwen als soort van constantie (hiervoor moet je 0,8 gebruiken). s moet je opzoeken in de Binas als stralingsgetal.

Ik weet niet of dit te moeilijk voor je is, als er nog vragen zijn hoor ik dit graag. Succes ermee.

gr,

Sander

su
dinsdag 7 maart 2006

©2001-2024 WisFaq