Reeks voor inhoud bol

Ik bezig geweest met het uitputten van een bol door middel van cilinders. Ik ben al een heel eind gekomen. Uiteindelijk wil ik aantonen dat de inhoud van een bol 4/3 is van de omhullende cilinder.
Ik zit nu alleen vast. Ik heb een algemene formule gevonden voor de inhoud. Het probleem is dat ik er niet echt een goede formule van kan maken en ik moet elke keer opnieuw de inhoud van elk cilindertje opschrijven.
Wat ik nu heb is p·r²(1+0,5n-1/0,5n+0,5n-2/0,5n+0,5n-3/0,5n........1/0,5n)·r/0,5n

Hoe kan ik deze formule zo schrijven dat ik krijg:
een getal afhankelijk van n die uiteindelijk bij een grote n 4/3 wordt·p·r³
Dus ik moet een formule hebben die afhankelijk is van het aantal cilinders n. Dit moet dan bij een grote n 4/3 worden.
alvast bedankt
groet,

Harry
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 8 februari 2006

Antwoord

Ik lees het gedeelte tussen haakjes maar even zo (ik hoop dat dat goed is):
1+(0.5n-1)/(0.5n)+(0.5n-2)/(0.5n)+...+1/(0.5n)

Dit kun je herschrijven tot
(0.5n+(0.5n-1)+(0.5n-2)+...+1)/0.5n
Volgens mij is de teller een rekenkundige rij.
De som van een rekenkundige rij is ¹/₂.aantal termen.(eerste term+laatste term).
Dan krijgen we in de teller ¹/₂.¹/₂n(¹/₂n+1)=¹/₄n(¹/₂n+1)
Alles bij elkaar harken levert:
pr².¹/₄n(¹/₂n+1)/(¹/₂n)*r/(¹/₂n)=pr³*¹/₄n(¹/₂n+1)/(¹/₄n²)=
pr³(¹/₂n+1)/n
Als n heel groot wordt levert dit ¹/₂pr³ en geen 4/3pr³
Jammer, maar helaas...

donderdag 9 februari 2006

Re: Reeks voor inhoud bol

©2001-2024 WisFaq