Meerdere raaklijnen berekenen van een derdegraads functie

hallo, ik heb (zeer) binnenkort een proefwerk, en bij het nakijken van de te leren stof ben ik toch nog op een vraag gestuit die ik niet begrijp...:

de functie is f(x)=x³-2x²+3x

van deze functie moet ik de formules van de raaklijnen berekenen die door de oorsprong gaan.

Carel
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 7 februari 2006

Antwoord

Merk ten eerste op dat de grafiek van f door de oorsprong gaat.
Dus de raaklijn in de oorprong gaat ook zeker door de oorsprong.
Maar het kan ook zijn dat een raaklijn in een ander punt van de grafiek ook door de oorsprong gaat.
In onderstaand plaatje is de grafiek van f in zwart getekend; de raaklijn in de oorsprong blauw.
Verder lijkt het erop dat er iets verder naar rechts nog een punt is waarin de raaklijn ook nog door de oorsprong gaat.

Je kunt de x-coordinaat van dit raakpunt als volgt berekenen:
Als je goed in het plaatje kijkt kun je inzien dat voor deze x-coordinaat moet gelden:
f '(x)=f(x)/x.
Dus 3x²-4x+3=(x³-2x²+3x)/x
3x²-4x+3=x²-2x+3
2x²-2x=0
2x(x-1)=0
x=0 (maar dat wisten we al) of x=1.
Dus de raaklijnen in de punten van de grafiek met x=0 of x=1 gaan door de oorsprong.
Uit f '(0)=3 volgt dan de lijn y=3x
Uit f '(1)=2 volgt dan de lijn y=2x.

dinsdag 7 februari 2006

©2001-2024 WisFaq