Een moeilijke limiet, probleem

reeksontwikkeling?
Deze oef staat in mijn boek en ik heb die zogenaamde reeksontwikkeling niet gezien. Kan het nog anders worden opgelost?

lim van x naar + oneindig van

x⁴·(cos(1/x)-1+1/(2x²))

de uitkomst is 1/24
maar hoe kom je eraan?
ik vind het nie

Dank bij voorbaat.
Compugreen
11-9-2002

Antwoord
Je kent, naar ik aanneem, de reeksontwikkeling van de functie f(x) = cosx :

cosx = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! +...

Compug
3de graad ASO - zaterdag 14 september 2002

Antwoord

Ik neem aan dat je wél bekend met de stelling(en) van de l'Hopital.
Even in het kort: als voor x = a zowel de teller als de noemer van een breuk f(x)/g(x) gelijk wordt aan 0, dan is de limiet van het quotiënt f(x)/g(x) (als x $\to$ a) gelijk aan f'(a)/g'(a).
Voorwaarden zijn dat zowel f als g diffbaar zijn voor x = a en dat g'(a) $\ne$ 0.

In de door jouw gegeven vorm introduceer ik eerst een nieuwe variabele, namelijk t = 1/x (en dus x = 1/t)
Gaat nu x naar $\infty$, dan gaat t naar 0.

De oorspronkelijke breuk wordt nu gelijk aan het volgende:

(cost - 1 + ½t²)/t⁴ en t moet nu naar 0 gaan.

Teller en noemer zijn bij t = 0 keurige functies die ieder apart gelijk worden aan 0.

L'Hopital kan dus worden ingezet, en daartoe differentieer je teller en noemer. Je krijgt:

(-sint + t)/4t³.

In deze breuk probeer je nu t = 0 in te vullen, hetgeen mislukt omdat de noemer wéér 0 wordt.

We herhalen daarom de stap (ook van deze nieuwe breuk zijn teller en noemer weer keurige functies rond t = 0) en dat geeft:

(-cost + 1)/12t²

Ook nu laat t = 0 zich nog niet invullen en dus nogmaals:

sint/24t en dan maar nog een keertje, hetgeen oplevert cost/24.

Eindelijk laat t = 0 zich nu invullen en het antwoord is daarmee gevonden.

Je hebt hier te maken met een wel erg hardnekkig geval, want we hebben wel 4 keer moeten werken met l'Hopital.

Ik heb nog eventjes zitten kijken of er een directere methode was, maar dat is me niet gelukt zonder iedere keer tóch weer naar de l'Hopital te moeten grijpen.
Maar ja, de man heeft zijn stelling vast niet bedacht om hem vervolgens niet te gebruiken, lijkt me.

MBL
zondag 15 september 2002

©2001-2024 WisFaq