Aantonen afgeleide van een natuurlijk logaritme

Hoe kun je aantonen dat de afgeleide van ln(ax) gelijk is aan 1/x?
En zo ook waarom is dit zo: f(x)=ln(xⁿ) geeft f'(x)=n/x?

Malon
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 10 januari 2006

Antwoord

Beste Malon,

Vaak gaan we de logaritme eigenlijk net op basis daarvan definiëren, dan valt er natuurlijk niets meer te bewijzen of aan te tonen. Een andere mogelijkheid is dat je de natuurlijke logaritme definieert als de inverse van de exponentiële functie e^x, waarvan je dan moet weten dat de afgeleide terug e^x is.

We kunnen dit dan aantonen gebruik makend van de kettingregel:

Neem y = e^ln(x), dan is dy/dx = e^ln(x) · d(lnx)/dx.
Maar e^ln(x) is ook gelijk aan x, want het zijn inverse functies, dus dan is dy/dx = 1. Dus:
dy/dx = e^ln(x) · d(lnx)/dx $\Leftrightarrow$ 1 = x · d(lnx)/dx $\Leftrightarrow$ d(lnx)/dx = 1/x

Dat de afgeleide van ln(ax) dan ook gelijk is aan 1/x volgt uit de kettingregel
Tenslotte geldt er de eigenschap van logaritmen: log(a^b) = b·log(a), dus: ln(xⁿ) = n·ln(x) dus de afgeleide is n/x.

mvg,
Tom

dinsdag 10 januari 2006

Re: Aantonen afgeleide van een natuurlijk logaritme

©2001-2024 WisFaq