Afgeleide van de 2de orde van een impliciete functie

De opgave vraagt om de afgeleide van de 2de orde van de impliciete functie X³-3x-y²+2=0 de vinden.
De afgeleide van de eerste orde geeft na differentieren:
3x²dx-3dx-2ydy=0
na deling door dx bekom ik
3x²-3-2ydy/dx=0 of nog 3x²-3-2yy'=0 en y'= 3(x²-1)/2y (a)

Om de afgeleide van de tweede orde te bekomen krijg ik bij het differentieren naar x
6xdx-0dx- d(2yy') Mag ik d(2yy') = 0 stellen niet tegenstaande dat y'=f'(x,y) (zie a)?

{Voor de rest gaat het wel: differentieren naar y geeft
-2yd(y')-2y'dy
Dus 6xdx-2y d(y')-2y'dy= 0 en na deling door 2dx bekom ik
3x-y d(y')/dx-y'dy/dx= 0 of nog
3x-yy"- y'y'=0 of yy"=3x-(y')² en tenslotte y"= .../y}

Maar ik twijfel over deze uitkomt ?

J-P
Ouder - donderdag 5 januari 2006

Antwoord

Beste Jean-Pierre,

Voor de volledigheid neem ik aan dat y een impliciete functie is van x en dat je dus y" = dy²/d²x zoekt.
Je eerste afgeleide is correct, we hebben dus dat:

y' = 3(x²-1)/(2y)

Om y" te vinden kunnen we deze vergelijking nu opnieuw naar x afleiden, maar wat je dan precies doet is me niet duidelijk. Je moet er natuurlijk rekening mee houden dat die y in de noemer een functie van x is, dus de quotiëntregel toepassen.

y" = 3/2 ((x²-1)'y-(x²-1)y')/y'² = 3/2 (2xy-(x²-1)y')/y'²

Hierin kan je nu eventueel de eerder gevonden uitdrukking voor y' nog substitueren.

mvg,
Tom

donderdag 5 januari 2006

©2001-2024 WisFaq