Hoe bewijs je dat de afgeleide van e^x ook e^x is?

Hoe bewijs je dat de afgeleide van e^x ook e^x is en waarvoor wordt de e van Euler allemaal gebruikt

louis
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 4 januari 2006

Antwoord

Beste Louis,

Het is mogelijk om de exponentiële functie precies te definiëren als de functie die precies terug zichzelf geeft na afleiden, maar dan valt er natuurlijk niets te bewijzen...
Het hangt er dus maar van af wat je definitie van e^x is, die zal je namelijk gebruiken om dit te bewijzen. Een mogelijk definitie is de limiet voor n gaande naar +¥ van (1+x/n)ⁿ, maar dat is voor dit probleem niet zo een handige definitie.

Een andere (vaak gebruikte) definitie van e^x is zijn reeksontwikkeling, namelijk dat:

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

Het handige is dat je voor de afgeleide gewoon elke term in zo'n reeksontwikkeling mag afleiden.
Laten we de afgeleides van de eerste termen eens bekijken.

D(1) = 0
D(x) = 1
D(x²/2!) = 2x/2 = x
D(x³/3!) = 3x²/6 = x²/2!
D(x⁴/4!) = 4x³/24 = x³/3!

Zoals je ziet verkrijgen we precies dezelfde reeks, alleen één plaats "opgeschoven" maar dat is niet erg wat het gaat toch over een oneindige reeks. Je kon het ook zien door de algemene term van de reeks af te leiden, namelijk xⁿ/n!. Dat wordt dan nx^n-1/n! = x^n-1/(n-1)! en dat is precies terug dezelfde, als we n-1 even 'm' noemen bijvoorbeeld.

Ten slotte is het misschien nog nuttig om op te merken dat het niet uitmaakt welke van de drie voorgestelde definities je gebruikt voor e^x (die met de reeks, de limiet, of het feit dat het zichzelf geeft na afleiden): men kan namelijk aantonen dat deze definities volledig equivalent zijn en dat het dus steeds om exact dezelfde functie gaat

Voor toepassing van e zou ik je aanraden de zoekfunctie van wisfaq of google eens te gebruiken, er zijn er ongelooflijk veel (in de wiskunde, fysica, chemie, ...)

mvg,
Tom

Zie Wat is e en ln(x)?

woensdag 4 januari 2006

©2001-2024 WisFaq