Partieel integreren

Ik heb grote moeite met partieel integreren. Ik heb veel vragen doorgelezen maar ik snap het nog niet echt.
Ik moet deze formules integreren maar ik kom er totaal niet uit.

1. x²e^2x

2. ₁ò⁴x³ln xdx

3. ò(x+1)sin xdx

Kan iemand mij hiermee helpen?

Alvast bedankt

Paul
Student hbo - donderdag 22 december 2005

Antwoord

het verhaal begint met een gelijkheid die je kent uit het hoofdstuk differentiëren. Te weten de produktregel:

[f(x).g(x)]' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)

als we deze herschikken, krijgen we:

f'(x).g(x) = [f(x).g(x)]' - f(x).g'(x)

Deze gelijkheid is de basis van het partiëel integreren. Als je namelijk links en rechts integraalhaken plaatst, krijg je:
òf'(x).g(x)dx = ò[f(x).g(x)]'dx - òf(x).g'(x)dx

de eerste term in het rechterlid, ò[f(x).g(x)]'dx , wordt eenvoudigweg
[f(x).g(x)]. Immers je wilt de **primitieve hebben van de afgeleide**,.. en dit levert weer de functie-zèlf op. (voorbeeld de primitieve van [x²]' is x²)
uiteindelijk heb je:

òf'(x).g(x)dx = [f(x).g(x)] - òf(x).g'(x)dx

bovenstaande gelijkheid moet je altijd bij de hand hebben, schrijf em desnoods bovenaan je blaadje.

Als je namelijk een (produkt-)functie hebt die je moet integreren, bijvoorbeeld ò4x.e^xdx
en je wilt dit doen met partiëel integreren, dan vergelijk je ten eerste deze integraal met het LINKERlid van de gelijkheid, dus met òf'(x).g(x)dx
Vervolgens gaat het erom welk stukje van de functie de f' voorstelt en welk stuk de g.
in dit geval is de keuze f'(x)=e^x en g(x)=4x
Om door te gaan naar de eerste term van het rechterlid van de gelijkheid moet je de f' "op"primitiveren naar f. omdat f'(x)=e^x, is f(x)=e^x.
(in de eerste term in het rechterlid blijft g gewoon g, dus onveranderd)
Het eerste deel van het rechterlid wordt dus [4x.e^x] waar je alleen nog maar de integratiegrenzen hoeft in te vullen. klaar.

Daarna kom je aan bij het tweede deel van het rechterlid:
De f(x) weet je al, die heb je al bepaald (e^x), nu gaat het erom de g'(x) te berekenen. omdat we gekozen hebben dat g(x)=4x, is
g'(x)=4. De tweede term rechts wordt:
ò4.e^xdx , welke je direct kunt uitrekenen.

Zo krijg je dus uiteindelijk de uitwerking:

ò4x.e^xdx = [4x.e^x] - ò4.e^xdx

De puzzel zit em altijd in het maken van de keuze: WELKE term noem ik f'(x) en welke g(x).
Probeer nu zelf eens de uitwerking te maken (a.h.v. bovenstaand voorbeeld) met de keuze dat f'(x)=4x en g(x)=e^x
Je zult zien dat je met deze keuze juist verder van huis komt, doordat je op den duur krijgt ò2x².e^xdx

Als voorbeeld behandel ik je opgave 2.
1 en 3 moet je zelf doen.

2. kies f'(x)=x³ en g(x)=lnx
òx³lnx dx = [¹/₄x⁴.lnx] - ò¹/₄x⁴.(1/x) dx
= [¹/₄x⁴.lnx] - ò¹/₄x³ dx etc...

hint bij opgave 1: je moet 2 keer achter elkaar partiëel integreren.
In de eerste stap verandert de x² in een 2x, en in de tweede stap verandert de 2x in een 2. En pas dan kun je rechtstreeks uitrekenen.

hint bij 3. kies voor f'(x)=sinx

veel succes.

groeten,
martijn

mg
donderdag 22 december 2005

©2001-2024 WisFaq