Bewijs van Fibonacci en de driekhoek van Pascal

Met welke berekening kan je bewijzen dat de formule die het verband tussen Fibonacci reeks en de Driekhoek van Pascal klopt?
alvast bedankt!!

Rosan
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 18 december 2005

Antwoord

Dat is een interessant probleem! We hebben vastgesteld dat geldt:



Als je dat lastig vind kan je beter in de driehoek van Pascal zelf kijken:



Laten zo'n 'diagonaalsom' D(i) noemen. Als je dat goed bestudeert en je kijkt naar de verschillende D(i)'s... Dus D(0), D(1), D(2), ... dan kan je ontdekken dat D(i)=D(i-1)+D(i-2). Vergelijk daarvoor bijvoorbeeld D(3), D(4) en D(5) maar eens...

D(3)=1+1=2
D(4)=1+2=3
D(5)=1+3+1

Omdat D(1)=1 en D(2)=1 staat hier dus de rij van Fibonacci. Nu is dat natuurlijk nog geen bewijs. Maar misschien heb je inmiddels wel een idee waar je 't zoeken moet...

Zie Fibonacci number identities

zondag 18 december 2005

©2001-2024 WisFaq