Eindige en repeterende breuken

Hoe kan je bij een breuk zien dat de decimale schrijfwijze een eindig of een repeterend karakter heeft?

Styl R
Overige TSO-BSO - donderdag 5 september 2002

Antwoord

Als een breuk a/b (met a en b geheel en onderling ondeelbaar) in decimale notatie geen repeterend deel heeft, dan kan je de komma zoveel plaatsen opschuiven dat er een geheel getal ontstaat.
Dus: 10^k.a/b = n met k en n geheel. Of nog: 10^k.a = n.b.
Omdat a en b ondeelbaar zijn, moet b een deler zijn van 10^k, en dus kan b enkel bestaan uit priemfactoren 2 of 5.

Het omgekeerde geldt ook: als b een priemfactor p bevat verschillend van 2 en 5, dan kan er geen niet-repeterende notatie zijn. Zowel dan zou die priemfactor een deler zijn van 10^k.a en dus van a. p zou dus a en b delen, maar die hebben enkel 1 als gemene deler.

Groetjes,

Johan (ook BE)

andros
donderdag 5 september 2002

©2001-2024 WisFaq