Bewijzen dat punt P over een boog loopt

hallo, ik hoop dat jullie me kunnen helpen. ik ben met een opdracht uit het moderne wiskunde boek bezig voor wiskunde B2. hier is de opdracht:

gegeven is een ruit ABCD met hoek A=60°. op lijn CD ligt een punt E, rechts van punt C. lijn AE snijdt BC in punt F, lijn DF snijdt BE in P. Bewijs dat, als punt E rechts van C over de lijn CD beweegt, P over boog BC van de omschreven cirkel van driehoek BCD loopt.

ik weet dat ik dit moet bewijzen door middel van de stelling van de constante hoek. Als P samenvalt met C is hoep DPB 60°, dus ik moet bewijzen dat als P niet samenvalt met C, de heok ook 60° is. ik heb het op alle mogelijke manieren geprobeert, maar ik kwam telkens in een cirkelredenering terecht.

ik hoop dat jullie me een hint kunnen geven of de uitwerking
alvast bedankt

Krista
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 oktober 2005

Antwoord

Voor dit bewijs moet je een hulplijn tekenen: de lijn door C evenwijdig met BD. Deze lijn snijdt DF in G.
Er geldt nu
DABF~DECF (hh) =BF:FC=AB:CE (1) (~:gelijkvormig)
DDBF~DGFC (hh) =BF:FC=BD:CG (2)
|AB|=|BD| (3)
Uit (1), (2) en (3) volgt |CE|=|CG|
Nu geldt
DBCE@DDCG (Waarom?)
Dus ÐCDG=ÐCBE=x°.
Dan ÐDFC=180°-60°-120°-x° (hoekensom driehoek DFC).
ÐDFC=ÐBFP (overstaande hoeken)
Dan in driehoek BFP: ÐFPB=180°-x°-(120°-x°)=60°

dinsdag 25 oktober 2005

©2001-2024 WisFaq