Melkkannen Fibonacci

Ik zit zo wat te zoeken naar een mooi bewijs voor het melkkannenprobleem van Fibonacci. Ik heb een site (Willem's fibosite) gevonden waar het bewijs staat maar ik geraak er echt niet aan uit.

Zie Het melkkannen probleem.

Ik heb het wel 10 maal doorlezen maar ik snap het nog altijd niet. Heeft iemand een andere site waar een gemakkelijker bewijs te vinden is. Of kan iemand dit een beetje eenvoudiger maken?

PS : Als je werkt met voorbeelden, gelieve dan 3, 5 en 8 te nemen als inhoud van de kannen...

Jan De
3de graad ASO - zaterdag 22 oktober 2005

Antwoord

Hoi Jan,

ik heb de site bekeken en het is inderdaad wat lastig leesbaar taalgebruik.
De kern van het verhaal is de vraag:
Gegeven zijn drie kannen waarvan de inhouden zich verhouden volgens drie opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci (in het voorbeeld: 3, 5 en 8).
Kan je dan alle mogelijke verhoudingen (van gehele getallen) via overgieten afmeten? Het antwoord luidt kennelijk 'ja' en wordt in de loop van de pagina's toegelicht.

Toen ik hier naar keek bedacht ik mij in eerste instantie dat je dan rekening moet houden met de ggd van de drie inhoudsmaten. In het voorbeeld zijn de inhouden 3, 5 en 8 e die hebben een ggd van 1. Wanneer je 6, 10 en 16 zou hebben gekregen als inhoudsmaten dan is die ggd 2 en kun je volgens mij niet 1 of 3 liter afmeten.
Je moet het een beetje als volgt zien: als je inhouden 3 en 5 hebt dan kun je door overgieten ook een inhoud 2 krijgen (2e kan leeggieten in 1e kan levert inhoud 5-3 = 2). Met een beetje proberen moet het dan uiteindelijk ook lukken om inhoud 1 apart te krijgen (want je hebt inhouden 3 en 2 en 3-2=1).

Je kunt bijvoorbeeld de volgende verhoudingen in de kannen maken:
0-0-8
0-5-3
3-2-3
0-2-6
...

Je ziet dat het nu al mogelijk is om de volgende inhouden te krijgen: 0, 2, 3, 5, 6 en 8. De vraag van de site is dus of het mogelijk is om alle inhoudsmaten 0 t.m. 8 te krijgen, dus ook 1, 4 en 7.

En als je dat kunt, kan het dan ook voor andere opeenvolgende getallen uit Fibonacci's rij? Bijvoorbeeld voor wanneer je de inhoudsmaten 5, 8 en 13 hebt?
En uiteindelijk meer algemeen voor de getallen n, n+a en 2n+a? (let op dat ggd(n,a) dan 1 moet zijn)

Thijs
zondag 23 oktober 2005

©2001-2024 WisFaq