Oplossen van een homogene matrix van lineaire vergelijkingen

Beste mensen, ik heb deze site al vaker gebruikt waarbij ik met de zoekfunctie al kon vinden wat ik zocht. Top site! Echter nu loop ik vast met een opgave. Ik hoop dat een van jullie me een zetje in de rug wil geven.
Ik zit met de volgende opgave. Er wordt een homogene Matrix gegeven en ik moet hier de oplossingsverzameling van geven. Ik gebruik het boek Elementary Linear Algebra (Anton,Rorres). Tot nu toe kon ik met mijn opgedane kennis en het systematisch toepassen van de regels die ik ken vele opgaven oplossen.
Dit is de opgave:
0 1 3 -2 = 0
2 1 -4 3 = 0
2 3 2 -1 = 0
-4 -3 5 -4 = 0

De aanpak die ik hierbij gebruik is het vegen waarbij ik probeer een reduched row-echelon form te krijgen. Hier kom ik echter op een gegeven moment met een rij te zitten met alleen maar 0'en. Deze mag ik volgens mij weglaten aangezien dat enkel de triviale oplossing geeft en ik wil de hele oplossingverzameling. Ik krijg een andere rij met
0 0 0 8 = 0 Om de echelon form te krijgen zou ik hier een 1 van willen maken, maar naar mijn idee is dit geen geldige actie door die rij door 8 te delen.
Dit vormt dus het probleem! Ik weet niet welke operatie ik over het hoofd zie die je wel mag toepassen. De meeste matricies die ik tot nu toe had gehad kwamen wat makkelijker uit :)
Ik hoop dat iemand mij kan vertellen hoe ik deze matrix gestructureerd moet oplossen met welke operaties ik het beste kan beginnen. Volgende week kan ik het wel weer op de universiteit vragen maar ik wil graag dit weekend nog verder werken.
Mijn dank is alvast erg groot voor degene die de moeite nemen er even naar te kijken. Voor de kenners is dit waarschijnlijk een eitje :D
Groeten Rens

Rens v
Student universiteit - vrijdag 14 oktober 2005

Antwoord

Beste Rens,

Je mag steeds de volgende elementaire rijoperaties toepassen:
- rijen van plaats verwisselen
- een rij vermenigvuldigen met een van 0 verschillend getal
- bij een rij een lineaire combinatie van de andere rijen optellen

In jouw voorbeeld mocht die ene rij dus toch door 8 gedeeld worden hoor, uit die vergelijking zou je (met de 8 of de 1, dat maakt niet uit) halen dat de 4e onbekende sowieso 0 moet zijn.

Dan eerst even algemeen, dit staat vast ook in je boek uitgelegd. Als je evenveel onbekenden als lineair onafhankelijke vergelijkingen hebt, dan is er steeds een unieke oplossing. Bovendien is een eigenschap van homogene stelsels dat de nuloplossing steeds een oplossing is. Met andere woorden: als deze 4 vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn, dan is dat ook de enige oplossing.

Indien je het concept determinant al gezien hebt komt dit overeen met een niet-nulle determinant. Indien de vergelijkingen lineair afhankelijk zijn, dan wordt die determinant 0 en dan ga je bij het vegen van je matrix net die rijen krijgen met enkel nullen. Het is mogelijk dat je een strijdig stelsel bekomt, ofwel dat je een oneindig aantal oplossingen vindt.

Bij deze opgave zal het dat laatste geval zijn. Als je correct je matrix veegt (Gauss eliminatie), dan zouden er 2 rijen moeten 'wegvallen' (dus volledig 0 worden). Je houdt dan 2 vergelijkingen over met 4 onbekenden. Je zal nu oneindig veel oplossingen hebben en om die oplossingverzameling te bepalen zal je 2 onbekenden moeten kiezen als parameters, en het stelsel dan oplossen naar de overige 2 onbekenden in functie van de gekozen parameters.

Een eenvoudig voorbeeld om dit te schetsen: x-2y = 4
Eén vergelijking, twee onbekenden $\Rightarrow$ één onbekende kiezen. Vb: stel y = t en los op naar x: x-2t = 4 $\Leftrightarrow$ x = 4+2t.
Oplossingenverzameling: V = {(4+2t,t)|t$\in\mathbf{R}$}

Op deze manier vindt je voor elke t een oplossing, in jouw opgave zullen er zo twee vrije onbekenden gaan zijn.

Succes!

mvg,
Tom

zaterdag 15 oktober 2005

Re: Oplossen van een homogene matrix van lineaire vergelijkingen

©2001-2024 WisFaq