Re: Differentiaalvergelijking

Dit is een reactie op vraag 40510

Hall Tom,

Dank U .Dat ik daar niet eerder aan gedacht heb vermits ik zelf stelde y=ux!!!!
Sorry voor de overlast en bedankt voor de klare uiteenzetting.
Maar hoe herken je nu een homogene vergelijking uit een andere?Kan je dat nog eens uitleggen?

de oplossing is dan :
ln(y²/x²+1)=lnc/x of verder y²+x²=Cx na verdrijven noemers .
Correct zo?

Groeten,
Rik

lemmen
Ouder - donderdag 29 september 2005

Antwoord

Beste Rik,

Homogeen kan twee betekenissen hebben.

Aan de ene kant is een vergelijking homogeen als er geen constante in voorkomt.
Beschouw bijvoorbeeld een lineaire DV van 1e orde: a(x)y' + b(x)y = c(x). De (geassocieerde) homogene DV is dan a(x)y' + b(x)y = 0.
Dit is van toepassing bij DV'en die we oplossen door eerst de homogene vgl te integreren en daarna een particulieren oplossing van de volledige vergelijking trachten te bepalen.

De andere betekenis die hier van toepassing is heeft te maken met de graad. Herinner je dat we een veelterm homogeen noemen als in elke term de som van de machten gelijk is. Voorbeeld: x²-2xy+3y², de graad is overal 2.

Als je een DV hebt van de vorm p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0 waarbij die p(x,y) en q(x,y) homogene veeltermen zijn, dan heet die DV eveneens homogeen. Dan is de substitutie y = ux gebruikelijk.

Dan wat de oplossing betreft. Als je in m'n laatste stap integreert komen we tot: ln(u²+1) = -ln(x) + c
Het nemen van de e-macht levert: u²+1 = c/x = u² = c/x - 1
Terug substitueren: y²/x² = c/x - 1 = y² = cx - x²

Eventueel nog: y = ±Ö(cx - x²)

mvg,
Tom

donderdag 29 september 2005

©2001-2024 WisFaq