Wat is een differentiaalvergelijking?

Ik ben aan het studeren voor mijn tentamen wiskunde uit het eerste jaar bedrijfskunde. Ik vroeg mij af, ik ben nu bij het onderwerp 'differentiaalvergelijkingen', maar kan er geen wijs uit worden wat een differentiaalvergelijking precies is.
Kunt u mij helpen?

Tim
Student universiteit - dinsdag 19 juli 2005

Antwoord

Goeiedag

Ik probeer je even op weg te zetten. Een differentiaalvergelijking heeft alles te maken met functies (vb y(x) ) en zijn afgeleiden: y'(x), y''(x), ... . Meerbepaald, een differentiaalvergelijking drukt een verband uit tussen een functie en verschillende (of 1) van zijn afgeleiden. We beginnen met de simpelste differentiaalvergelijking die er bestaat:

Los op: y'(x)= e^x

Deze diffvergelijking oplossen wil zeggen: zoek alle y(x) die voldoen aan de vergelijking, de vergelijking moet kloppen voor alle x die er bestaan ($\in\mathbf{R}$). Een voorstel voor een oplossing kan voorbeeld zijn: y(x)= 10·x, dan is y'(x)=10. Bijgevolg wordt de vergelijking: 10 = e^x. Klopt dit? Nee, het gegeven voorstel is fout. Tweede voorstel: y(x)=e^x, dan is y'(x)=e^x. Klopt dit? Ja, want e^x = e^x.

Feit is wel dat elke differentiaalvergelijking oneindig veel oplossingen heeft voor y(x). Want in het voorbeeld hierboven is y(x) = e^x + c (met c $\in\mathbf{R}$) een oplossing (oneindig veel oplossingen, want c kan oneindig veel waarden hebben in $\mathbf{R}$).

Er zijn natuurlijk ook moeilijkere differentiaalvergelijkingen, dewelke je ook wel in je cursus terug zal vinden, vb:

y''(x) + y(x) + x³ = 2 · x

Het is telkens de bedoeling om y(x) te vinden. Hoe je y(x) precies vindt, dat zal wel mooitjes in uw cursus staan waarschijnlijk.

PS: met y'(x) wordt bedoeld de 1e afgeleide, y''(x) de 2e afgeleide...

Groetjes

Igor
dinsdag 19 juli 2005

©2001-2024 WisFaq