Binomiaalformule en de driehoek van Pascal

Ik moet de coëfficiënt van x³ bepalen in (3x-1/x²)⁹

ik kom uit als ik dit via de binomiaalformule oplos (met sommatieteken dus) dat i = 2 maar hoe bereken ik dan mijn coëfficiënt van x?

ben
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 1 augustus 2002

Antwoord

Voor dit probleem kun je ook de driehoek van Pascal gebruiken als hulpmiddel. Onderaan vind je een paar pagina’s met een uitgebreide uitleg hierover.

De driehoek van Pascal kun je gebruiken om producten van de vorm (a + b)ⁿ uit te rekenen. Jouw vraag staat ook in deze vorm.



Elk getal is de som van de (twee) getallen die er direct schuin boven staan. Met de driehoek vind je dan dat:

(a+b)¹ = a + b
(a+b)² = a² + 2 a·b + b²
(a+b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³

Nu terug naar jouw vraag. Om de regel te vinden die nodig is voor jouw vraag gaan we nog even door:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Dus vinden we (het wordt een heel geschrijf):

(3x)⁹+9·(3x)⁸·(¹/_x²)¹+36·(3x)⁷·(¹/_x²)²+84·(3x)⁶·(¹/_x²)³+126·(3x)⁵·(¹/_x²)⁴+126·(3x)⁴·(¹/_x²)⁵+84·(3x)³·(¹/_x²)⁶+36·(3x)²·(¹/_x²)⁷+9·(3x)¹·(¹/_x²)⁸+9·(¹/_x²)⁹

Schrijven we de verschillende delen uit dan vinden we (ik schrijf hem hier niet helemaal uit):

3⁹·x⁹+9·3⁸·x⁶+36·3⁷·x³+84·3⁶·x⁰+126·3⁵·x^-3+......

Je ziet dus wat de coefficient van x³ is. De coefficient van x is 0.

donderdag 1 augustus 2002

©2001-2024 WisFaq