Paradox

Eens over de brug, zie ik in de verte de verkeerslichten staan. Ik rij over een hoofdweg, dus de lichten blijven langer op groen staan dan op rood. Noem de tijd dat ze op groen staan t(groen). De tijd die nodig is om van de brug tot aan de lichten te rijden = t(groen). Aangezien
t(groen) t(rood), is P(groen)P(rood) op het moment dat ik net over de brug ben. Maar dan is na een tijd t(groen), het moment waarop ik aan de lichten kom,
P(rood) P(groen). Klopt niet natuurlijk, maar hoe bewijs je dat?

Jan Br
Ouder - woensdag 1 juni 2005

Antwoord

De fout in je redenering is de volgende:

Zij P(Gb) de kans dat je groen hebt bij de brug, en P(Gs) dat je groen hebt bij het stoplicht, met P(Rb)=1-P(Gb) en P(Rs)=1-P(Gs) de kans op rood.

Wat er nu eigenlijk beweerd wordt, is het volgende:
P(Gb) 50%, en als Gb gebeurt, is P(Rs) 50% (dit laatste is overigens alleen waar als de rode tijd meer dan de helft van de groene tijd is). Hieruit kun je echter niet concluderen dat P(Rs) a priori meer dan 50% is. Immers, de kans dat 2 dingen gebeuren die elk meer dan 50% kans hebben, kan best minder dan 50% zijn.

Om het allemaal nog wat wiskundiger te maken: De redenatie is P(Gb)50% en P(Rs|Gb)50%, dus P(Rs)50%, en dit klopt niet. We kunnen alleen concluderen dat P(Rs)25%.

Om de juiste kans te berekenen, stellen we dat het stoplicht een fractie a van de tijd groen is (en dus 1-a rood), dat wil zeggen a=(t(groen)/(t(groen)+t(rood)).

Dan geldt:
P(Gb)=a
P(Rb)=1-a
P(Rs|Gb)=(1-a)/a (uitleg: als we groen hebben, zitten we ergens in de t(groen). Vanuit dit enkele groene gebied kunnen we na 1x t(groen) precies 1 rood gebied bereiken; als we niet in dat gebied komen, komen we in een groen gebied)
P(Rs|Rb)=0 (Als we 1x t(groen) verder gaan vanuit een rood gebied, komen we altijd in het volgende groene gebied.

Derhalve: P(Rs)=P(Gb)*P(Rs|Gb)+P(Rb)*P(Rs|Rb)=a*((1-a)/a)+0=1-a, wat inderdaad precies de uitkomst is die je logisch gezien mag verwachten.

AE
donderdag 2 juni 2005

©2001-2024 WisFaq