Re: Lissajous-figuren

Dit is een reactie op vraag 32895

Hoe moet je dan een vergelijking van die parabool opstellen en hoe kan je bewijzen dat alle punten erop liggen?

En klopt het dat de nulpunten x=1,414 en x=-1,414 zijn?

leerli
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 21 mei 2005

Antwoord

Die nulpunten zijn exact Ö2 en -Ö2.

Een parabool met top in (0,-1) heeft als algemene gedaante: y=a*x²-1
Invullen van (Ö2,0) levert:
0=a*2-1 dus a=¹/₂.
Dus y=¹/₂x²-1.

Aantonen dat alle punten van de kromme op deze parabool liggen doe je door x=2sin(t) en y=sin(2t-0.5p) in te vullen in de vergelijking van de parabool.
Je moet nu dus aantonen dat
sin(2t-0.5p)=2sin²t-1
Dit klopt want:
2sin²t-1=-cos(2t) en
sin(2t-0.5p)=
sin(2t)*cos(0.5p)-cos(2t)*sin(0.5p)=
0-cos(2t)=-cos(2t).

P.S. I.p.v. de nulpunten kun je natuurlijk ook een ander punt van de kromme nemen om in te vullen in y=a.x²-1.
Het punt met t=0.5p ligt dan erg voor de hand. Dit punt heeft als coordinaten (2,1) zodat je krijgt:
1=a*4-1, dus 4a=2 dus a=¹/₂.

zaterdag 21 mei 2005

©2001-2024 WisFaq