Een moeilijk bewijs

Kan iemand me helpen met dit bewijs:

Gegeven:
a+b $\leq$ c+1
b+c $\leq$ a+1
c+a $\leq$ b+1
voor a, b en c $\geq$ 0.
Laat zien dat a²+b²+c² $\leq$ 2abc+1.

Ik kom tot : a·(2-c-b)+c·(2-b)+2b+1 $\leq$ a·b·c

Alvast bedankt

Mohame
2de graad ASO - dinsdag 17 mei 2005

Antwoord

Beste Mohamed,

Uit optellen van de eerste twee ongelijkheden vinden we dat b$\leq$1. Net zo vinden we dat a$\leq$1 en c$\leq$1.

We moeten aantonen dat (beetje herschreven)

a²+b²+c²-2abc-1$\leq$0 [1]

Het gelijkteken geldt als (abc-formule):

a = bc ± √((b²-1)(c²-1)).

Voor a tussen bc - √((b²-1)(c²-1)) en bc + √((b²-1)(c²-1)) (inclusief grenzen) voldoet [1] dus.

1. We kunnen ons afvragen wat er gebeurt als we a $>$ bc + √((b²-1)(c²-1)) nemen. Het is de vraag of dan nog wel a+b$\leq$c+1 en a+c$\leq$b+1 geldt. Dat blijkt al moeilijk als a = bc + √((b²-1)(c²-1)). We gaan zonder beperking van de algemeenheid uit van b$\geq$c en onderzoeken of dan a+b$\leq$c+1, ofwel a+b-c-1$\leq$0, de moeilijkste van de twee voorwaaarden, nog voldoet.
   
   De vergelijking a+b = c+1 levert
   
   bc + √((b²-1)(c²-1)) + b = c+1
   √((b²-1)(c²-1)) = 1 + c -bc - b
   (b²-1)(c²-1) = 1 + 2c - 4bc - 2b + c² - 2bc² + 2b²c + b² + b²c²
   0 = c - 2bc - b + c² -bc² + b²c + b²
   0 = (c+1)(b-1)(b-c)
   
   Als we oplossen naar b, dan zien we dat de oplossingen zijn b=1 en b=c. Dus a+b-c-1=0 voor die twee gevallen. Ook duidelijk is dat voor b=0 de ongelijkheid a+b-c-1$\leq$0 geldig is. Met b als variabele vindt er tekenwisseling plaats bij b=c en bij b=1. Dus voor c $<$ b $<$ 1 is a+b$\leq$c+1 niet geldig, en kunnen we concluderen dat als a = bc + √((b²-1)(c²-1)) niet wordt voldaan aan a+b=c+1. Laat staan als a nog groter wordt.
   Blijven nog de gevallen b=c en b=1. Dan is a+b = c+1. Maar dat betekent dat als a $>$ bc + √((b²-1)(c²-1)), dat dan a+b = c+1 niet meer geldt.
   
   
2. Dan kunnen we ons afvragen wat er gebeurt als a $<$ bc - √((b²-1)(c²-1)) . Geldt dan nog b+c$\leq$ a+1 ofwel b+c-a-1$\leq$0? Net als boven nemen we a = bc - √((b²-1)(c²-1)) en lossen b+c=a+1 op.
   
   b + c = 1 + bc - √((b²-1)(c²-1))
   √((b²-1)(c²-1)) = 1 + bc - b - c
   (b²-1)(c²-1) = 1 - 2c + 4bc - 2b+ c² - 2bc² + b²c² - 2b²c + b²
   0 = -c + 2bc - b + c² - bc² - b²c + b²
   0 = (b-1)(c-1)(b+c)
   
   Weer oplossen naar b levert b=-c en b=1. We nemen tussen deze twee grenswaarden b=0, en constateren dat de voorwaarde b+c$\leq$a+1 dan luidt c$\leq$1 - √(1-c²). En deze voorwaarde voldoet niet voor 0$\leq$c$\leq$1. We zien immers dat 0 en 1 de oplossingen zijn van de vergelijking c = 1 - √(1-c²), en dat voor c= ¹/₂ de ongelijkheid c$\leq$1 - √(1-c²) niet klopt. Conclusie is dat met a = bc - √((b²-1)(c²-1)) voor -c $\leq$ b $\leq$ 1 de voorwaarde b+c $\leq$ a+1 niet voldoet. Alleen de grens b=1 zou nog wat kunnen opleveren, dan geldt b+c = a+1. Maar als a $<$ bc - √((b²-1)(c²-1)) nemen, dan geldt b+c$\leq$a+1 ook niet meer als b=1.

En ongelijkheid [1] is bewezen door te laten zien dat situaties waarin [1] niet geldt leiden tot strijdigheid met de voorwaarden.

vrijdag 20 mei 2005

©2001-2024 WisFaq