Egyptische breuken

Wilt u op een eenvoudige manier uitleggen hoe je een willekeurig gegeven breuk kunt omzetten in Egyptische breuken (waarin alle tellers 1 zijn)?

Leen M
Ouder - dinsdag 10 mei 2005

Antwoord

Dag Leen,

De oude Egyptenaren hadden de merkwaardige gewoonte breuken op te splitsen in zogenaamde ‘stambreuken’ (met teller 1) bv 4/7 = 1/2 + 1/14. En die stambreuken moeten dan ook nog verschillend zijn.

Waarom ze dat deden is niet bekend. Soms kan het helpen bij het verdelen van bv broden. 4 broden verdelen over 7 personen. Geef ieder een half brood, dan blijft er nog een half brood over. Dat halve brood wordt in 7 stukken (van 1/14) verdeeld en zo krijgt ieder dan 1/2 + 1/14. Dit is handiger dan ieder brood eerst in 7 plakken te snijden en ieder 4 plakken te geven. Bij de laatste manier zou je 24 keer moeten snijden terwijl dat bij de eerste manier maar 10 keer hoeft.

Dit even als inleiding. Nu je vraag.

Er is inderdaad een methode om zo’n splitsing te maken.
Dit zogenaamnde 'gulzige algoritme' hapt steeds een zo groot mogelijke stambreuk van de oorspronkelijke breuk af.

Voorbeeld:
12/35 De stambreuk 1/2 is te groot, maar 1/3 kan er wel af. Dat geeft: 12/35 = 1/3 + 1/105
(Maar het kan ook anders: 12/35 = 1/5 + 1/7)

Nog een voorbeeld:
121/210 Dit is meer dan 1/2, dus trek af 121/210 – 1/2 = 16/210 = 8/105 Nu is 1/14 de grootste stambreuk die je kunt aftrekken: 8/105 – 1/14 = ...= 1/210
Dus 121/210 = 1/2 + 1/14 + 1/210 (Maar ook 1/3 +1/7 + 1/10)
Het gulzige algoritme stopt altijd na een eindig aantal stappen (in 1880 bewezen door Sylvester) maar het geeft niet altijd de eenvoudigste splitsing.

Nog enkele wetenswaardigheden over dit onderwerp vindt je in het boek van David Wells: Merkwaardige en interessante puzzels (ISBN 90-5713-312-1)
Veel plezier ermee. vriendelijke groeten

JCS
dinsdag 10 mei 2005

©2001-2024 WisFaq