Een driehoek te construeren gelijk aan een willekeurige vijfhoek

De opdracht is om van een vijfhoek een vierkant te maken met gelijke oppervlakte (je mag alleen je passer en lineaal gebruiken)zodat de oppervlakte kan worden berekend. Nu snap ik vrijwel alle stellingen van euclides (elementen van euclides boek I) die hiermee te maken hebben. Ik heb geprobeerd de vijfhoek in 3 driehoeken te delen om elk driehoek vervolgens om te bouwen tot een parallellogram (stelling 38, 42, 44 en 45) om er dan een rechthoek van te maken. vervolgens paste ik de kwadratuur van een rechthoek toe om er een vierkant van te maken. Dit werkt, maar is wel erg omslachtig en lastig, vooral wanneer je bezig bent met een figuur dat meer dan 5 hoeken heeft. Is het ook mogelijk om van de vijfhoek 1 driehoek te maken met dezelfde oppervlakte? zo ja, hoe dan? bij voorbaat dank.

Sanne
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 5 mei 2005

Antwoord

Beste Sanne,

Je zou de vijfhoek in 5 gelijke driehoeken kunnen verdelen, het is dan makkelijk 1 driehoek te maken met de oppervlakte van die vijfhoek: je hoeft immers maar de basis of de hoogte met een factor 5 te vergroten.

Deze methode kan je inclusief figuren hier volgen:
http://www.jimloy.com/geometry/squaring.htm Wat extra uitleg in het Nederlands misschien:

- Op de tekening doen ze de hoogte x5. Als je dan het midden van de hoogte neemt en de top van de driehoek bij de onderkant 'plakt', dan krijg je een rechtoek. Op de figuur groen-geel en als rechthoek groen-blauw.

- Overgang van de rechthoek naar het vierkant is iets subtieler:
Verleng zijde DA tot DE zodat |AE| = |AB| (de andere zijde).
Neem de helft van DE en neem dit als middelpunt van een cirkel met straal FE. Deze cirkel snijdt de rechte (= lijn) door A en B in het punt G.
AG is nu één zijde van ons vierkant, het vervolledigen is dan eenvoudig.

Onderaan de tekst legt men dat de gebruikte stelling voor die laatste stap verder uit.

Overigens is er hierover ook wel heel wat op Wisfaq al te vinden, gebruik de zoekfunctie maar eens op 'kwadratuur'!

Hopelijk heb je hier wat aan

mvg,
Tom

donderdag 5 mei 2005

©2001-2024 WisFaq