Bewijs poollijn, punt en ellips

Gegroet ,

met volgend bewijs zit ik in de knoop :

Bewijs dat een punt tot zijn poollijn tov een ellips behoort , asa het punt tot de ellips behoort

Verwarrend , niet ? Kunne jullie me even op weg zette

dirk
3de graad ASO - donderdag 5 mei 2005

Antwoord

beschouw deze tekening:



Eerst en vooral, de poollijn van een punt (P) tov een ellips is de verbindingslijn tussen de twee raakpunten (A en B) van de raaklijnen aan de ellips door dat gegeven punt.

Zoals de stelling er nu staat gaat het dus in twee richtingen

We beginnen met:
Punt P ligt op de poollijn = P ligt op de ellips.
Bewijs: P ligt op de raaklijnen aan de ellips door P, en P ligt ook op de verbindingslijn tussen die twee raakpunten A en B (de poollijn). Het punt P ligt dus op 3 rechten die bijgevolg collineair zijn ( de rechten AB, PB en PA). Maar PA en PB hebben P gemeen, AB en PA hebben A gemeen, en AB en PB hebben B gemeen. Dus vallen A, B en P samen, aangezien A en B raakpunten waren, is P ook een raakpunt, en ligt dus op de ellips.

Omgekeerd:
Punt P ligt op de poollijn = P ligt op de ellips.
Bewijs:
Als P op de ellips ligt, dan is de enige raaklijn aan de ellips vanuit P de raaklijn in het pun P zelf. De verbindings lijn van de raakpunten is dus weer die raaklijn. De poollijn is dus de raaklijn, en P ligt daarop.

QED

Koen

donderdag 5 mei 2005

©2001-2024 WisFaq