Reflexiviteit, transiviteit, symmetrisch

Hallo, ik zit met een vraagje.
Hoe kan een verzameling reflexief, transitief en symmetrisch tegelijk zijn? (ik versta de begrippen best wel, ze zijn namelijk goed uitgelegd op de site) Ik moet een voorbeeld van zo'n soort verzameling geven. Nu is mijn vraag, is de verzameling van alle 2-vouden (of dergelijk meer) dat dan? En als je gewoon de singleton A={0} opgeeft. Is die dan reflexief, transitief én symmetrisch?

Meisje
3de graad ASO - woensdag 4 mei 2005

Antwoord

De eigenschappen die je noemt horen niet bij een verzameling, maar bij een *relatie* op een verzameling. Je taak bestaat dus uit het volproppen van een verzameling met elementen naar keuze (dat mogen getallen zijn, maar ook letters of vruchten of automerken) EN het definieren van een relatie op die elementen. Bij zo een relatie kan een voorschrift horen en aan de hand van dat voorschrift kan je bepalen welke koppels tot de relatie horen en welke niet (denk aan dingen als "...is groter dan..." uit het lager onderwijs)

Elke relatie die voldoet aan de gevraagde eigenschappen is een goeie oplossing voor jouw taak (het moet niet eens zinvol zijn: als jij definieert dat in jouw verzameling een appel groter is dan een Volkswagen, dan is dat zo, jij bent de baas).

Een relatie die reflexief, transitief en symmetrisch is wordt een equivalentierelatie genoemd. Het definieren van een dergelijke relatie op een verzameling zorgt er voor dat je de verzameling kan opdelen in zogenaamde "equivalentieklassen". Op een grafische voorstelling kan je die opdeling goed zien. Er zullen elementen zijn die in een groepje bij elkaar staan en onderling verbonden zijn door *alle* mogelijke pijlen, maar tussen groepjes zijn er geen pijlen (als er toch zo een pijl zou zijn, zorgt transitiviteit automatisch voor *alle* mogelijk pijlen tussen beide groepjes, zodat beide groepjes eigenlijk samen 1 groepje vormen).

Nu een tip voor een concreet voorbeeld. Stop al je klasgenoten in een verzameling en zoek nu naar een relatie die er voor zorgt dat de klas in groepjes uit elkaar valt. Je gaat dus op zoek naar een regel om te besluiten of een bepaald koppel leerlingen tot de relatie behoort of niet.

Een beetje ingewikkeld uitgelegd misschien, maar denk er eens over na. Probeer te snappen wat er staat en probeer enkele relaties uit en bekijk hoe ze er grafisch uitzien.

Als je wat geexperimenteerd hebt maar het lukt nog niet, zet je je pogingen maar in een reactie op dit antwoord.

PS: De domste equivalentierelatie is een relatie die elk element enkel met zichzelf verbindt, bijvoorbeeld A={1,2,3,4} met de relatie "...is even groot als...". Maar dat is echt wel een heel triviaal voorbeeld dat niet volledig het concept illustreert. Zoek een beter voorbeeld.

woensdag 4 mei 2005

Re: Reflexiviteit, transiviteit, symmetrisch

©2001-2024 WisFaq