Hausdorfmetriek op compacte verzamelingen

We moeten bewijzen dat
h( AUB , CUD ) = max{ h(A,C) , h(B,D) }
waar is in de fractalruimte,

met h gedefinieerd als h(A,B) = max{ d(A,B), d(B,A) }
met d de euclidische afstand tussen verzamelingen. (U staat hierboven voor de Unie van de verzamelingen A,B,C,D)

Deze euclidische afstand is gedefinieerd als:
(x,y punten; A,B verzamelingen)
d(x,A) = inf{ d(x,y) : y€A }
d(A,B) = sup{ d(x,B) : x€B }

Zouden jullie me daar bij kunnen helpen?
Alvast bedankt,

Marie
Student universiteit - dinsdag 3 mei 2005

Antwoord

Allereerst geven we 2 lemma's:
lemma 1: d(AÈB,C)=max{d(A,C),d(B,C)}
lemma 2: d(A,BÈC)=d(A,B) en d(A,BÈC)=d(A,C)

Lemma 1 is eenvoudig af te leiden uit de definitie voor d(A,B). Op dezelfde wijze krijg je uit de definitie voor d(x,A): d(x,AÈB)=min{d(x,A),d(x,B)}, waaruit lemma 2 vervolgens is af te leiden.

Met behulp van lemma 1 kunnen we nu schrijven:
h(AÈB,CÈD) =
max{d(AÈB,CÈD),d(CÈD,AÈB)} =
max{d(A,CÈD),d(B,CÈD),d(C,AÈB),d(D,AÈB)}

Verder geldt:
max{h(A,C),h(B,D)} =
max{d(A,C),d(C,A),d(B,D),d(D,B)}

Met lemma 2 krijgen we nu:
d(A,CÈD)=d(A,C)
d(B,CÈD)=d(B,D)
d(C,AÈB)=d(C,A)
d(D,AÈB)=d(D,B)

Elk van de 4 termen in het eerste maximum is dus kleiner of gelijk dan 1 van de termen in het tweede maximum, en dus moet hun maximum ook kleiner dan of gelijk zijn aan het tweede maximum, Q.E.D.

AE
woensdag 4 mei 2005

©2001-2024 WisFaq