Tweedegraads vergelijking

Voor mij is het al weer een tijdje geleden, ik heb het vast ooit uitgelegd gekregen maar ik weet het niet meer (en statistiek was niet mijn sterkste vak):

Excel geeft van onderstaande reeks de volgende vergelijking

x	y
1	37
4	36,2
7	37,9
10	41,4
13	46,7

y = 0,1111x² - 0,7356x + 37,544
R² = 0,9992

Hierbij ligt de polynoom niet precies op deze coordinaten

Hoe kan ik a, b en c (met deze precisie) zelf uitrekenen zonder een grafiek te hoeven maken?

rik
Iets anders - dinsdag 26 april 2005

Antwoord

Daarvoor wordt de 'kleinste-kwadraats-afstands-methode' voor gebruikt, ttz, je neemt de som van alle kwadraten van de verschillen tussen de meting, en de waarde van je poly_noom, en die som wordt geminimaliseerd in de onbekende coëfficiënten. Het klinkt ingewikkeld, maar eigenlijk is het gemakkelijk:

Je nam een polynoom ax²+bx+c
En we zoeken a, b en c.

We hebben 5 waarden te beschouwen.

De echte waarde van x₁=1 is y₁=37. De benaderde waarden is y'₁= a·1²+b·1+c

Zo ook voor x₂=4 is de echte waarde y₂=36.2, de benaderde:y'₂= a·4²+b·4+c

enz.

Wat we nu doen is de kwadraten van de afstanden tussen de y en de y' optellen voor de 5 waarden.

Dus:

i=1-$>$5$\sum$(y_i-y'_i)²

=(a+b+c-37)²+(16·a+4·b+c-36.2)²+(49·a+7·b+c-37.9)²+(100·a+10·b+c-41.4)²+(169·a+13·b+c-46.7)²

Dit willen we nu minimaliseren.
Wat we daarvoor doen is die som afleiden, een keer naar a, een keer naar b en een keer naar c.

Die drie afgeleiden stellen we nul, en we krijgen een stelsel van drie vergelijkingen en drie onbekenden:

82438·a+7210·b+670·c-29011.2 = 0
7210·a+670·b+70·c-2936.4 = 0
670·a+70·b+10·c-398.4 = 0

Dit kan je oplossen (door Cramer of Gauss-eliminatie)

De oplossingen zijn die die je jij in je vergelijking hebt staan, nl:
a = 0.1111111111, b = -0.7355555556, c = 37.54444444

Koen

dinsdag 26 april 2005

©2001-2024 WisFaq