Fibonacci rijen

Ik moet de oplossing van F_n-1 · F_n+1 - (F_n)² uitrekenen.
Het lijkt (-1)^n-1 te zijn, maar nu moet ik het ook nog bewijzen, wat niet lukt, kunnen jullie mij helpen?

Mijn vraag is dus:
F_n-1 · F_n+1 - (F_n)² = (-1)^n-1
Hoe kan ik dit bewijzen?

Elly K
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 26 april 2005

Antwoord

Elly,
Het rechterlid moet zijn (-1)ⁿ.
Neem n=2, dan zie je dat het klopt. We bewijzen de identiteit met inductie. Stel de bewering is waar voor een n. Nu van n naar n+1.

F(n)F(n+2)-F(n+1)²=
F(n)(F(n+1)+F(n))-(F(n)+F(n-1))²=
F(n)F(n+1)-2F(n)F(n-1)-F(n-1)²=
F(n)(F(n)+F(n-1))-2F(n)F(n-1)-F(n-1)²=
F(n)²-F(n)F(n-1)-F(n-1)²=
F(n)²-F(n-1)(F(n)+F(n-1))=
F(n)²-F(n-1)F(n+1)=(inductieveronderstelling)=-(-1)ⁿ=(-1)ⁿ⁺¹.
Groetend

kn
dinsdag 26 april 2005

Re: Fibonacci rijen

©2001-2024 WisFaq