Booglentes + onbepaalde integraal

Ik heb wat problemen bij het oplossen van volgende opgaven:

(1)
Bereken de booglengte van y=ln(1-x²), als x Î [0,1/2]

Ik probeerde:
f'(x)=-2x/(1-x²)

L=ò[1/20] Ö(1+ (4x²)/(x^4-2x²+1))dx
= ò(x²+1)/(-x²+1)dx
= ò(1+2/(-x²+1))dx
= [-x - ln|x²-1|]

Maar dan: bij het invullen van x=0, x=1/2 kom ik in de problemen

=(-1/2) - ln|1/4 -1| + ln|-1| en negatieve ln bestaat niet?? Wat doe ik steeds fout want dit is niet de eerte keer dat ik zoiets tegen het lijf loop....

(2)
Zoek een functie f waarvan de grafiek door de oorpsrong gaat waarvoor de booglengte tussen de punten a(1,f(1)) rn b(4,f(4)) gelijk is aan ò[41]Ö(1+1/(16x))dx

Hoe kan ik zoiets aanpakken?

(3)
ò[+¥--1] xln(x+1) dx

Een onbepaalde integraal dus.
Na het uittekenen van de grafiek botste ik echter op een probleem: De grafiek heeft én een vert.asympt én een 'oneindig punt'
Hoe ik een integraal met één van beide kenmerken correct kan oplossen weet ik maar met beide kenmerken? Hoe kan ik dat het best aanpakken?

Alvast bedankt voor jullie hulp!

Vele groetjes,
Veerle

Veerle
3de graad ASO - maandag 11 april 2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) Ik neem het min-teken even in de noemer, dan heb je als f'(x): 2x/(x²-1).

- f(x)² = 4x²/(x²-1)²
- 1 + f'(x) = ((x²-1)²+4x²)/(x²-1)² = (x⁴+2x²+1)/(x²-1)² = (x²+1)²/(x²-1)²
- Ö(1 + f'(x)) = (x²+1)/|x²-1|

Integreren lukt dan wel?

2) Je weet dat de booglengte in de vorm òÖ(1 + f'(x)²) staat waaruit je dan makkelijk kan afleiden dat in jouw geval f'(x)² gelijk moet zijn aan 1/(16x).

Dit werd in de omgekeerde richting als laatste gekwadrateerd, inverseren geeft dan de vierkantswortel:
f'(x) is dus 1/(4Öx).

Overgaan naar f(x) is natuurlijk integreren, maar dan zal de functie slechts bepaald zijn op een constante na. Maar wat weet je van functie die door de oorsprong gaat...?

3) Ik weet niet precies welke methoden je gezien hebt voor het oplossen hiervan, het zijn volgens mij overigens 'oneigenlijke integralen', onbepaalde zijn we al een tijdje mee bezig :-)

De functie heeft inderdaad links in -1 een verticale asymptoot maar is zelf verder continu.
De onbepaald integraal is (x²-1)ln(x+1)/2 - x(x-2)/4.
In principe neem je nu de limiet voor "x - grenzen".

Voor -1 geeft dat -3/4, en de limiet voor x - ¥ geeft dat ¥ waardoor je ¥ - (-3/4) = ¥ krijgt.

mvg,
Tom

maandag 11 april 2005

©2001-2024 WisFaq