5de-graadsvergelijkingen

Hoeveel en welke methoden heb je nodig om alle 5de-graadsvergelijkingen te kunnen oplossen?

M.M.J.
Ouder - donderdag 7 april 2005

Antwoord

U heeft hier al eerder te horen gekregen dat er geen algemene methode is, maar ik zal bij dezen verder gaan, en verklaren dat ook "een aantal" methoden niet helpt. Stel namelijk dat er (bijvoorbeeld) 7 methoden zouden zijn, die samen voldoende zijn om alle vijfdegraadsvergelijkingen op te lossen. Dan was er ook een algemene methode namelijk:

1. Probeer methode 1, als dat lukt klaar, indien niet, dan:
2. Probeer methode 2, als dat lukt klaar, indien niet, dan:
...
7. Probeer methode 7, dat moet nu lukken.

Hetzelfde zou nog gelden als er een aftelbaar oneindig aantal methoden was, waarvan altijd minimaal 1 de oplossing gaf.

In het kort: Er is geen methode om alle vijfdegraads vergelijkingen op te lossen, en dus ook geen combinatie van methoden.

Toevoeging:

Dit geldt overigens alleen voor algebraische methoden en methoden die daarin kunnen worden vertaald (zoals passer-en-lineaal-meetkunde). Er zijn wel algemene *numerieke* methoden; deze geven echter alleen een willekeurig goede benadering van het antwoord, en niet het eigenlijke antwoord zelf.

Een voorbeeld van een dergelijke methode is de volgende:

Elke vijfdegraadsfunctie gaat van plus oneindig naar min oneindig of omgekeerd. Verder zijn vijfdegraadsfuncties continu, wat betekent dat de tussenwaardestelling geldt: Als voor een vijfdegraadsfunctie f(x) geldt dat f(a) groter is dan een zekere waarde, en f(b) kleiner, dan ligt er tussen a en b een x waarvoor f(x) gelijk is aan die waarde.

Schrijf de vergelijking als f(x)=0, en zoek 2 getallen x1 en x2 uit zodanig dat f(x1)<0 en f(x2)>0. Dit is zeker het geval als er een zeer laag en een zeer hoog wordt gekozen. Volgens de tussenwaardestelling, moet ergens tussen die 2 getallen een nulpunt zitten.

Bekijk nu de functiewaarde voor het getal halverwege x1 en x2. Als dit groter dan 0, vervang dan x2 door het getal halverwege, als het kleiner is, vervang dan x1 door het getal halverwege. Herhaal dit tot het verschil tussen x1 en x2 kleiner is dan de gewenste precisie.

Er zijn betere methoden, waarbij de fout in het antwoord sneller afneemt dan bij deze, maar voor allemaal geldt, dat het bereikte antwoord geen exact antwoord is, maar slechts een willekeurig goede benadering.

AE
dinsdag 12 april 2005

©2001-2024 WisFaq