Goniometrische substitutie + omwentelingslichaam

Ik heb problemen met oefeningen op goniometrishe substitutie zoals bv:

(1)
$\int{}$dz/(z√4z²+1))

Ik probeerde:
2z=tant
dz=dt/cos²t

dan wordt de integraal
= $\int{}$(dt/cos²t)/(tant/2cost)
= $\int{}$2dt/sint
= 2ln|sint|+c

Dit raakt dus wal noch kant want de juiste oplossing blijkt te zijn:

¹/₂ln( (√(4z²+1))/(√(4z²+1)) ) +c

N.B.: Hoe kan ik terug bepalen wat t is?

(2)
Ik ben ook een integraal die 'oplosbaar' zou moeten zijn m.b.v. de t-formules tegen het lijf gelopen waar ik niets mee kan aanvangen:

$\int{}$(2+sinx)/sinx(1+cosx) dx

Ik probeerde:
via wat knoeien met de t-formules bekwam ik:
= (1+t²+t)/(2t/(1+t²)²) dt
= ¹/₂$\int{}$(t³+ 3t + 1+ 1/t)dt
= ¹/₈tan⁴(x/2) + ²/₃tan²(x/2) + ¹/₂tan(x/2) + ¹/₂ln|tan(x/2)| + c

Opnieuw: dit is geheel fout, het juiste antwoord moet zijn:

¹/₂tan²(x/2) + tan(x/2) + ln|tan(x/2)| +c

Kunnen jullie me opnieuw verder helpen aub?

Vele groetjes en alvast bedankt!

Veerle
3de graad ASO - dinsdag 5 april 2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) Een klein foutje bij je substitutie, bij de dz ontbreekt een factor 2, daardoor valt die uiteindelijk weg en vind je als integraal:
$\int{}$1/sint dt

Het is echter dt en niet d(sint) dus je kan daar niet zomaar een ln van maken!

Na integratie zou je een ln(tan(t/2)) moeten vinden.
Om t terug te krijgen geldt dan dat als 2z = tant $\Leftrightarrow$ t = Bgtan(2z)

2) Ik zou de teller eerst opsplitsen, 1x valt dan de sinus weg. Je houdt daar dan de volgende integraal over:
$\int{}$1/(cosx+1) dx
Die kan je via de verdubbelingsformule (je gaat dus naar een hoek x/2) omvormen en er een tangens uitkrijgen, dat is die tan(x/2) uit de oplossing.

Op het tweede deel pas je de volgende t-formules toe:
sinx = 2t/(1+t²)
cosx = (1-t²)/(1+t²)
dx = 2dt/(1+t²)
Je zal zien dat er veel wegvalt en je zou uiteindelijk over moeten houden:
$\int{}$(t²+1)/4t dt
Dat zal je wel kunnen integreren?

Je zou die opsplitsing in het begin ook niet kunnen doen en direct alles met de t-formules, het vereenvoudigen zal dan waarschijnlijk wat moeilijk gaan.

mvg,
Tom

woensdag 6 april 2005

Re: Goniometrische substitutie omwentelingslichaam

©2001-2024 WisFaq