Partielen integratie en zo

Zou u me nogmaals op het juiste spoor kunnen helpen?

(1)
$\int{}$ln²x dx

(ik koos voor partiële integratie)
$\Leftrightarrow$ xln²x -2$\int{}$x.lnx.(1/x)dx
$\Leftrightarrow$ xln²x -2$\int{}$lnxdx
$\Leftrightarrow$ en hoe moet het dan verder? Wat is $\int{}$lnxdx? Of wat doe ik fout?

(juiste opl = x(ln²x-2lnx+2)+c )

(2)
$\int{}$ dx/cos⁴(x)
= $\int{}$ 1/(sin²x-sin²xcos²x)dx
= $\int{}$ 1/(sin²x-(¹/₂sin2x)²)dx
= $\int{}$ dx/sin²x - 4$\int{}$dx/(sin2x)²
= $\int{}$ cotanx - 2cotan2x + c Dit klopt niet! De juiste oplossing moet zijn: cotanx - cotan³(x)/3 + c

(3)
$\int{}$√(e^x-1)dx
Met deze kan ik al helemaal niet verder...
Ik probeerde met t²= e^x-1 maar dat brengt me ook niet echt veel verder?

Kan u me opnieuw verder helpen?

Alvast bedankt!

Veerle
3de graad ASO - zondag 3 april 2005

Antwoord

Beste Veerle,

Enkele aanwijzingen om je op weg te helpen:

1) Bekijk $\int{}$lnx dx even als $\int{}$lnx.1 dx en pas hierop opnieuw partiële integratie toe, waarbij je uiteraard 1 integreert en lnx afleidt.

2) Op een bepaald moment splits je je breuk op in twee delen, dit kan natuurlijk alleen als er meerdere termen in de teller staan! Vanuit de noemer mag je dat niet doen...
$\Rightarrow$ (a+b)/c = a/c + b/c maar a/(b+c) ¹ a/b + a/c

Gebruik het feit dat $\int{}$-1/sin²x dx = cotx om je sin⁴x op te splitsen in 2x een kwadraat. Breng een van de twee kwadraten binnen de dx om over te gaan op d(cotx) (vergeet het min-teken niet):

$\int{}$1/sin⁴x dx = -$\int{}$1/(sin²x·sin²x) dx = -$\int{}$1/sin²x d(cotx)

Gebruik in de teller nu cos²x + sin²x = 1 en splits de breuk op. Met de cos²x/sin²x krijg je net cot²x en de sin²x/sin²x valt mooi weg...!

3) Gebruik even de substitutie t = e^x om van die e-macht af te geraken, je krijgt dan: $\int{}$√(t-1)/t dt

Vermenigvuldigen met de wortel in teller en noemer, dan kan je de breuk splitsen:

$\int{}$√(t-1)/t dt = $\int{}$(t-1)/(t√(t-1)) dt = 1/√(t-1) - 1/(t√(t-1))

Die eerste integraal is rechtstreeks te integreren en voor die tweede kan je de substitutie y = √(t-1) toepassen om naar een ATAN (Bgtan) toe te werken.

Succes

mvg,
Tom

zondag 3 april 2005

Re: Partielen integratie en zo

©2001-2024 WisFaq