Newton en Euler

Ik ben bezig om een vergelijking te maken tussen de benadering van Euler en de reeksontwikkeling van Newton over het grondtal e. Ik zit met een probleem, omdat ik van de reeksontwikkeling van Newton bar weinig snap.

Daarom hoop ik dat er hierbij uitleg kan worden gegeven. Ik heb al gezochtnaar het boek van Newton over die reeksontwikkeling, maar ik kan het niet vinden. Daarom hoop ik dat mijn vraag zo duidelijk mogelijk wordt uitgelegd.

Dit is de vraag die ik vanmorgen heb gesteld. Ik zal aangeven welke formules ik hiermee bedoelde:
Formule van Euler:

e^x = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! +.......+ xⁿ/n!

De machtreeks van Newton

e^x = a(0) + a(1)x + a(2)x² + a(3)x³ + ....... + a(n)xⁿ

Als uitleg hierbij stond:
de coefficienten a(0), a(1) enz. berekende hij achtereenvolgens door bij (1)
- in het linker- en rechterlid x=0 te nemen
- linker- en rechterlid eerst één of meerdere keren te differentieren en daarna x=0 te substitueren.

Ik snap deze uitleg niet en ik snap dus ook niet hoe ze bij de coefficienten a(0), a(1) enz. komen.
Ik hoop dat jullie de vraag nu beter snappen

Groetjes Martine

Martin
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 9 juni 2002

Antwoord

Eerst even een opmerking:
de reeks die jij 'Formule van Euler' noemt stopt niet met de term xⁿ/n!, maar loopt oneindig door. De zelfde opmerking geldt trouwens ook voor de machtreeks.
Bovendien is het vreemd dat de eerste term met x^0 begint; dan kun je meteen geen x = 0 meer invullen, want met de vorm 0^0 wordt in de wiskunde niet gewerkt.
Op de plaats van jouw eerste term staat normaal gesproken het getal 1.
Dat je het boek van Euler niet gevonden hebt is niet zo vreemd. Euler leefde al weer een tijdje geleden en hij was niet zo erg boekschrijverig. Alles verdween in schriften en de uitwerkingen werden aan geestverwanten overgelaten. Hij produceerde echter zoveel ingewikkelde wiskunde, dat deze hem niet eens konden bijhouden. Men was nog maanden na zijn dood bezig om alles uit te zoeken.
Maar in elk analyseboek van een b-opleiding is de machtreeks waar jij zo mee worstelde zo'n beetje het eerste dat aan bod komt.
Goed, dan nu wat je probleem betreft:

als je in de Formule x = 0 invult, dan krijg je links e⁰ = 1; aan de rechterkant blijft alleen de zojuist besproken 1 staan. Kortom: er staat 1 = 1.
Als je x = 0 invult in de machtreeks, dan krijg je links weer 1, maar rechts a(0); rechts valt verder alles weer weg.
Conclusie: 1 = a(0).

Differentieer nu de machtreeks eens, zowel links als rechts:
links blijf je gewoon e^x houden, maar rechts krijg je a(1) + a(2).2x + a(3).3x² + a(4).4x³......
(bedenk dat a(0) = 1 en die sneuvelt dus bij het differentieren).
Als je nu in deze afgeleide links en rechts weer x = 0 invult, dan krijg je links weer e⁰ = 1, en rechts krijg je a(1) terwijl alle volgende termen weer wegvallen omdat ze steeds gelijk worden aan 0.
Kortom: a(1) = 1

Differentieer nog een keer. Links blijf je hardnekkig op e^x zitten, en rechts wordt het nu 2.a(2) + a(3).6x + .....
Let bijv. eens goed op het getal 6 in deze reeks. Die is ontstaan uit 2.3 en dus ook uit 1.2.3 en dat is precies 3!, dus 3-faculteit. Op deze manier komen die faculteitsgetallen in de machtreeks naar voren.
Je voelt nu verder wel waar het heengaat: invullen van x = 0 geeft links weer 1 en rechts blijft alleen de term 2.a(2) staan, zodat 2.a(2) = 1 ofwel a(2) = 1/2.
Herhaal dit hierna nog een aantal keren en je zult achtereenvolgens de a(3), de a(4) enz. krijgen.
Eind van het liedje is dan dat e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + .... en dat is precies wat in de 'Formule' ook al te zien was.

MBL
zondag 9 juni 2002

©2001-2024 WisFaq