Binomium van Newton

2005 is het annulus aureus : 100 jaar geleden publiceerde Einstein zijn belangrijke publicatie's. Leken met beperkte wiskundekennis (VWO) zullen trachten zijn theorien te lezen . Zij zullen ,net als ik, wellicht vastlopen bij het punt waarop de Lorentz transformatie wordt uitgewerkt in een reeks ontwikkeling: Het is een tweeterm (1 - v2/c2)^n , waarbij n = -1/2, dus een concrete waarde.
Door de reeksontwikkeling volgens het binomium komt er een eerste term bovendrijven en wordt aldus heuristisch mc2 gevonden.
Hetzelfde komt men tegen bij het experiment van Michelson en Morley waarbij het tijdsverschil tussen de 2 lichtstralen neerkomt op [(1 - B)^-1] - [(1 - B)^-1/2]. Deze uitdrukking wordt verder uitgewerkt volgens het binomium "met verwaarlozing van hogere machten" etc. en levert dan op als uitkomst : 1/2B.
Kennelijk wordt deze manoeuvre uitgevoerd om kort door de bocht een snelle en simpele uitkomst te verkrijgen.
Ik begrijp deze manoeuvre echter niet. Er staat een concrete macht (-1/2). Waarom worden die andere termen erbij gehaald ? Klaarblijkelijk is het toch de juiste gang van zaken. Is dit uit te leggen voor een leek ?

j van
Iets anders - dinsdag 15 maart 2005

Antwoord

Als men 1/sqrt(1-x) volgens Newton's binomium uitschrijft krijgt men aan het begin 1+x/2+3x²/8+5x³/16+... als men hier voor x de waarde v²/c² invult staat er in de derde term (v/c)⁴; dit is zeer veel kleiner dan (v/c)², voor de hogere-orde termen geldt hetzelfde maar in steeds sterkere mate: de som van al die termen is, als v een `gewone' snelheid is, praktisch gesproken verwaarloosbaar: men merkt hun invloed pas ver achter de komma.

kphart
donderdag 17 maart 2005

©2001-2024 WisFaq