Extremumprobleem spie uit cirkel

Ik moet een taak afgeven voor wiskunde, maar ik zit vast. Ik had een oplossing maar die is volgens de leerkracht niet goed. Graag zou ik willen dat jullie mij een beetje helpen.

Het gaat om de volgende opgave:

Men beschikt over een cirkelvormig stuk karton met straal 20cm. Uit dat stuk knippen we willekeurig een cirkelsegment. Met het overblijvende stuk kan je een kegel vormen. Noem de straal van het grondvlak (R) en de hoogte van de kegel (h). Voor welke afmetingen van de kegel zal de inhoud van die kegel maximaal zijn? (Bereken de maximale inhoud.)

Ik heb als formule voor de inhoud V= pi/3 · R² · h

Voor h kom ik het volgende uit: Ö(20² / 3)

Voor R kom ik het volgende uit: Ö(20² - 20² / 3)

De oplossing is dan R = 3,40 en h = 11,55.

Maar dan kom ik een onmogelijk getal uit voor het volume. Wat doe ik fout?

Yannic
3de graad ASO - woensdag 9 maart 2005

Antwoord

dag Yannick,
Je formule voor de inhoud is goed.
De hoogte h en de straal R hangen beide af van de grootte van het segment dat je er uit knipt.
Noem a de hoek van het segment.
Noem r de straal van de oorspronkelijke cirkel (dus r = 20 als je in cm blijft werken).
Dan geldt: 2pR = (2p-a)·r
Maak zelf een tekening.
De hoogte h van de kegel kun je uit R berekenen met de driehoek die je krijgt als je de kegel doorsnijdt met een vertikaal vlak door de as. Denk aan de stelling van Pythagoras.
Vul de uitdrukkingen voor R en h in de formule van het volume in, en vind dan met differentieren de waarde van a waarvoor het volume maximaal is.
Ik hoop dat je hiermee op weg geholpen bent.
succes.

woensdag 9 maart 2005

©2001-2024 WisFaq