Derdemachts wortel uit een complex getal

Ik ben al een tijdje bezig met het uiwerken van de volgende opgave:

(z-1+i)³ = 4Ö2 - 4Ö2i

Ik kom er alleen niet uit. Graag zou ik wat hulp hebben...
BVD
Simon

Simon
Student universiteit - zondag 27 februari 2005

Antwoord

Hallo Simon,

Ik hoop dat je de goniometrische voorstelling van een complex getal gezien hebt? Dus z = a+bi = re^iq = r(cosq+isinq)
Met als overgangsformules van cartesisch naar goniometrisch:
r = Ö(a²+b²)
tgq = b/a

Als ik dat rechterlid in goniometrische (of polaire, of exponentiële) notatie zet, komt daar:
r = Ö(32+32) = 8
En tgq = -1. Aangezien het complexe getal duidelijk in het vierde kwadrant ligt, geeft dit q = 315° of 7p/4 radialen.

De derdemachtswortels hieruit krijg je als volgt: neem de derdemachtswortels uit r=8, dat wordt dus 2, en deel de hoek (die evenwel slechts op 2kp nauwkeurig bepaald is) door 3.
(7p/4)/3 = 7p/12
(15p/4)/3 = 5p/4
(23p/4)/3 = 23p/12

Hiermee heb je modulus en argument gevonden van de drie derdemachtswortels uit 4Ö2 - 4iÖ2. Dan moet je dat alleen nog omzetten in cartesische coördinaten, en dan nog +1-i doen om de oplossingen te vinden.

Alternatief zou je deze oefening ook wel kunnen oplossen zonder die goniometrische voorstelling: stel dan z=a+bi, werk de derdemacht uit en stel de complexe delen links en rechts gelijk, alsook de reële delen. Je krijgt dan een stelsel waaruit je a en b kan halen, maar het lijkt me nogal moeilijk op te lossen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
zondag 27 februari 2005

©2001-2024 WisFaq